Zadania.info: zadanie nr 9228274, Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 18, 414

Zadania

Dowolny

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 9228274

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt $ABC$ o bokach długości 18 cm i 12 cm, którego kąt między tymi bokami ma miarę równą $60∘$ . Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa $ABCS$ mają długości równe 12 cm. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i dzielącą jego wysokość w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka tego ostrosłupa. Wykonaj rysunek ostrosłupa $ABCS$ z zaznaczonym przekrojem i oblicz:

obwód otrzymanego przekroju,
objętość tej z brył wyznaczonych przez przekrój, która nie jest podobna do ostrosłupa $ABCS$ .

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Zauważmy, że otrzymany ostrosłup $P QRS$ jest podobny do ostrosłupa $ABCS$ w skali $13$ . Zatem obwód trójkąta $PQR$ jest równy $1 3$ obwodu trójkąt $ABC$ . Aby wyliczyć obwód trójkąta $ABC$ , musimy wyliczyć długość boku $AC$ – możemy to łatwo zrobić z twierdzenia cosinusów. $2 2 2 ∘ AC = AB + BC − 2AB ⋅BC cos6 0 2 2 2 1 AC = 1 2 + 1 8 − 2 ⋅12 ⋅18 ⋅--= 144 + 324 − 21 6 = 252 √ -- 2 AC = 6 7.$
Zatem obwód trójkąta $P QR$ jest równy
$1 1 √ -- √ -- -(AB + BC + AC ) = --(12+ 18+ 6 7) = 10 + 2 7. 3 3$

Odpowiedź: $√ -- 10 + 2 7$
Plan jest następujący: objętość interesującej nas bryły to różnica objętości dużego i małego ostrosłupa. Z podobieństwa tych ostrosłupów, ta różnica objętości jest równa $V − 1-V = 2-6V , 27 2 7$
gdzie przez $V$ oznaczyliśmy objętość ostrosłupa $ABCS$ . Do wyliczenia $V$ brakuje nam wysokości ostrosłupa. Ponieważ wszystkie krawędzie boczne są równe, spodek wysokości $O$ ostrosłupa to dokładnie środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ (bo trójkąty $SOA ,SOB$ i $SOC$ są przystające). Zatem do wyliczenia wysokości potrzebna nam jest długość promienia opisanego na trójkącie $ABC$ . Tę jednak możemy łatwo wyliczyć z twierdzenia sinusów.
$√ -- -AC---- 6--7- √ --- sin 60∘ = 2R = 2AO ⇒ AO = √ 3 = 2 21.$
Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $AOS$ .
$∘ ------------ √ --------- √ --- √ --- SO = AS 2 − AO 2 = 144− 84 = 60 = 2 15.$
Wyliczmy jeszcze pole podstawy ostrosłupa.
$√ -- 1- ∘ 1- --3- √ -- PABC = 2AB ⋅BC sin 60 = 2 ⋅12 ⋅18 ⋅ 2 = 5 4 3.$
Zatem interesująca nas objętość jest równa
$26 26 1 26 1 √ -- √ --- ---V = ---⋅--PABC ⋅SO = ---⋅--⋅54 3 ⋅2 15 = 27 27 √3-- √ -- 27 3 = 26 ⋅2 ⋅2 5 = 10 4 5.$

Odpowiedź: $√ -- 104 5$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Login
Hasło