Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9483487

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Typowe zadanie na wyobraźnię. Wyobraźni trzeba umieć pomóc, więc ważny jest tu odpowiedni rysunek. Mi osobiście wygodnie jest myśleć o tym ostrosłupie jako o leżącym na jednej z bocznych ścian.


PIC


Wiemy, że krawędź DS jest prostopadła do podstawy, zatem prostopadłe do podstawy są też ściany DCS i ADS . Ponieważ prosta BC jest równoległa do ściany ADS (bo jest równoległa do AD ), więc odcinki MN i BC są równoległe. Ponadto, ponieważ M jest środkiem DS , mamy  1 MN = 2AD = 2 . Aby obliczyć pole trapezu BCMN musimy jeszcze wyliczyć jego wysokość. Zauważmy jednak, że prosta BC jest prostopadła do płaszczyzny DCS (bo jest równoległa do AD , a AD ma tę własność). Zatem trapez BCMN jest prostokątny, czyli jego wysokość to długość odcinka CM . Długość tego odcinka możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego DCM

 ∘ ------------- √ --- CM = DC 2 + DM 2 = 25 = 5 .

Mamy więc już wszystko co potrzeba do wyliczenia pola trapezu.

 BC + MN 4 + 2 P = -----------⋅CM = ------⋅5 = 15 . 2 2

Uwaga. Wiele osób pyta się dlaczego w treści zadania jest mowa o płaszczyźnie BCM pomimo, że interesujący nas przekrój jest trapezem. Powód jest prosty: płaszczyzna jest wyznaczona przez 3, a nie przez 4 punkty. Przekrój płaszczyzną BCMN jest tak samo dziwnym sformułowaniem jak prosta ABC .  
Odpowiedź: 15

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Numer zadania jest wysyłany automatycznie.
Jeżeli oczekujesz odpowiedzi podaj adres e-mail.