Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych/logarytmicznych bardzo przypomina analogiczną zabawę z funkcjami trygonometrycznymi – też mamy kilka wzorków, dzięki którym musimy sprowadzić takie równanie/nierówność do prostej postaci. Cała sytuacja jest jednak o wiele prostsza, bo nie ma okresowości i wzorów redukcyjnych. Proste równania i nierówności wykładnicze Proste równania wykładnicze to równania postaci

ax = b,

gdzie a,b > 0 i a ⁄= 1 . Nie ma tu żadnego problemu: logarytmujemy stronami logarytmem przy podstawie a i mamy x = lo g b a .

Rozwiążmy równanie  2x 5- 2 = 9x .
Liczymy

 2x 2x 2 ⋅3 = 5 62x = 5 / lo g () 6 2x = lo g65 1 √ -- x = --lo g65 = log 6 5. 2

Często jest tak, że równanie ma jeszcze prostszą postać:

 x c a = a .

Wtedy możemy od razu wywnioskować, że x = c (dzięki różnowartościowości
funkcji wykładniczej).

Rozwiążmy równanie 24x + 42x + 16x = 1 2 . Liczymy

 4x 4x 4x 2 + 2 + 2 = 12 3 ⋅24x = 12 24x = 2 2 1 4x = 2 ⇐ ⇒ x = -. 2

Analogicznie postępujemy w przypadku nierówności tego typu. Jedyna rzecz, na którą musimy uważać, to zmiana znaku nierówności w przypadku, gdy a < 1 .

Rozwiążmy nierówność (1)x ( 1)2x 2 < 3 .
Liczymy

( ) ( ) 1 x 1 2x 2- < 3- / log12() ( ) 1- 2x 1- x > log 12 3 = 2x log12 3 ( ) ( ) 1- 1- 1- 12- 9- 0 > x 1− 2 log12 3 = x lo g12 2 − log12 9 = x lo g12 1 = xlog 122 . 9

Ponieważ log1 92 < 0 2 otrzymujemy stąd x > 0 .

Sprawdźmy dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem nierówności

( )x 1- ≤ m 7

jest przedział ⟨2,+ ∞ ) .
Liczymy

( ) 1- x 7 ≤ m / log 17() x ≥ log 17 m .

Musimy zatem mieć

 ( 1) 2 1 log 1m = 2 ⇐ ⇒ m = -- = ---. 7 7 49

Proste równania i nierówności logarytmiczne Proste równanie logarytmiczne to równanie postaci

lo gax = b,

gdzie a > 0 i a ⁄= 1 . Rozwiązanie równania tego typu sprowadza się do przypomnienia sobie definicji logarytmu. Powyższa równość oznacza, że

 b x = a .

Rozwiążmy równanie  x log 32 = 2 . Liczymy

2x = 3 2 / lo g () 2 x = log 29.

Podobnie jak w przypadku prostych równań wykładniczych, czasem równanie jest jeszcze prostsze:

loga x = loga b.

w takiej sytuacji od razu wnioskujemy, że x = b (korzystamy z różnowartościowości
funkcji wykładniczej).

Rozwiążmy równanie lo gx + log x2 = log 2x2 .
Liczymy

logx 3 = log2x 2 x3 = 2x2 2 x (x− 2) = 0 x = 0 ∨ x = 2.

Ze względu na dziedzinę równania jedynym rozwiązaniem jest x = 2 .

Przejście od równań do nierówności jest prawie natychmiastowe. Prawie, bo jak zwykle musimy uważać na monotoniczność funkcji logarytmicznej.

Rozwiążmy nierówność log π4 x < 2 .
Zamieniamy 2 z prawej strony na logarytm.

 (π ) 2 log π4 x < lo gπ4 -4 .

Teraz chcemy opuścić logarytmy. Ponieważ π-< 1 4 , zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

 (π ) 2 x > -- . 4

Podstawianie W przypadku bardziej skomplikowanych równań i nierówności wykładniczych lub logarytmicznych niezwykle użyteczną metodą jest podstawienie  x t = a lub t = loga x . Bardzo często otrzymujemy w ten sposób równanie/nierówność, które już nie jest wykładnicze/logarytmiczne (zwykle jest wielomianowe).

Rozwiążmy nierówność 4x − 3⋅ 2x + 2 < 0 .
Podstawiamy  x t = 2 i mamy

t2 − 3t + 2 < 0 Δ = 9 − 8 = 1 3− 1 3+ 1 t1 = ------= 1, t2 = ------= 2 2 2 x1 = 0, x 2 = 1 x ∈ (0,1).

Rozwiążmy równanie  logx−1 √1-- x = 410 .
Logarytmujemy obie strony logarytmem dziesiętnym.

log xlogx−1 = log 10− 14 = − 1- / ⋅4 4 4(log x− 1)log x = − 1.

Podstawiamy teraz t = logx .

 2 2 1- 4t − 4t+ 1 = 0 ⇐ ⇒ (2t − 1) = 0 ⇐ ⇒ t = 2.

Mamy stąd  √ --- x = 10t = 10 .

Wersja PDF
Login Hasło
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać (telefonicznie) 3,92 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.