Podobne strony

Nierówności kwadratowe

Nierówność kwadratowa to nierówność postaci

2 ax + bx + c > 0, (lub < 0,≥ 0,≤ 0).

Przypomnijmy, że wykresem lewej strony takiej nierówności jest parabola, której ramiona są skierowane do góry dla $a > 0$ i w dół dla $a < 0$ . Ponadto

parabola nie przecina osi $Ox$ dla $Δ < 0$ ;
przecina oś $Ox$ w jednym punkcie dla $Δ = 0$ ;
przecina oś $Ox$ w dwóch punktach dla $Δ > 0$ .

Patrząc na powyższe rysunki bez trudu ustalamy znak wyrażenia $ax2 + bx + c$ .

Jeżeli $Δ < 0$ to wyrażenie $2 ax + bx + c$ jest stale dodatnie dla $a > 0$ i ujemne dla $a < 0$ .
Jeżeli $Δ = 0$ to wyrażenie $b ax 2 + bx + c = a(x + 2a)2$ jest równe 0 dla $x0 = − b- 2a$ i jest dodatnie dla $a > 0$ (ujemne dla $a < 0$ ) na zbiorze $-b R ∖ {− 2a}$ .
Jeżeli $Δ > 0$ i $x 1 > x2$ są pierwiastkami, to wyrażenie $ax2 + bx + c = a(x − x 1)(x− x2)$ jest dodatnie dla $a > 0$ (ujemne dla $a < 0$ ) na zbiorze $(− ∞ ,x )∪ (x ,+ ∞ ), 1 2$
oraz ujemne dla $a > 0$ (dodatnie dla $a < 0$ ) na zbiorze $(x 1,x2)$ .

Nierówność

2 9x − 5x + 2 > 0

jest zawsze spełniona, gdyż $Δ = 25 − 72 < 0$ .

Jak to zapamiętać? Na pierwszy rzut oka można czuć się zagubionym w tych wszystkich przypadkach, ale grunt to nie uczyć się tego na pamięć, tylko wypracować system. Przede wszystkim, zawsze możemy nierówność sprowadzić do postaci z dodatnim współczynnikiem przy $2 x$ – można to łatwo zrobić mnożąc nierówność przez -1. Przy takim założeniu sprawa zaczyna być prosta.

Funkcja kwadratowa jest ujemna między pierwiastkami i dodatnia na zewnątrz od pierwiastków.

W zasadzie to jest wszystko co trzeba pamiętać. Przypadki $Δ < 0$ i $Δ = 0$ też podpadają pod tę formułkę – dla $Δ < 0$ nie ma pierwiastków i funkcja jest cały czas dodatnia, a dla $Δ = 0$ funkcja jest dodatnia na zewnątrz od jedynego pierwiastka.

Spróbujmy rozwiązać nierówność

x − x2 + 2 ≥ 0 / ⋅(− 1) 2 x − x − 2 ≤ 0 Δ = 1+ 8 = 9 ⇒ x1 = − 1, x2 = 2 x ∈ ⟨− 1,2⟩.

Rozwiążmy nierówność

2 4x − 1 2x+ 9 ≥ 0 3- Δ = 144 − 14 4 = 0 ⇒ x0 = 2 { } x ∈ R ∖ 3- . 2

1Ustalając znak wyrażenia $(x − x1)(x− x2)$ , gdzie $x 2 > x1$ , zamiast myśleć o paraboli, możemy myśleć o iloczynie dwóch liczb – iloczyn jest dodatni gdy obie są dodatnie, czyli dla $x > x2$ lub obie ujemne: $x < x1$ . Iloczyn jest ujemny, gdy jedna jest ujemna, a druga dodatnia, $x ∈ (x 1,x2)$ .

2Jeżeli widać pierwiastki trójmianu gołym okiem, to nie ma potrzeby używać $Δ$ -y.

Rozwiążmy nierówność

16− x2 < 0 / ⋅ (−1 ) x2 − 16 > 0 (x− 4)(x+ 4) > 0 x ∈ (− ∞ ,− 4)∪ (4,+ ∞ ).

3 W przypadku nierówności z parametrem, jak zwykle w przypadku zadań, w których stosujemy wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego, bardzo ważne jest sprawdzenie czy współczynnik przy $x 2$ jest niezerowy.

Sprawdźmy kiedy rozwiązaniem nierówności

a2x2 + ax + 1 ≤ 0

jest zbiór $R$ . Ponieważ

Δ = − 3a 2 ≤ 0,

mogłoby się wydawać, że tak jest zawsze. Jednak dla $a = 0$ mamy sprzeczną nierówność $1 ≤ 0$ .

4Wiele, pozornie bardziej skomplikowanych nierówności, sprowadza się do opisanej sytuacji nierówności kwadratowej.

Typowy przykład to nierówność postaci

x-−-3- x + 1 < 0.

Kiedy ta nierówność będzie spełniona? – wtedy kiedy licznik i mianownik będą różnych znaków. Zatem zbiór rozwiązań jest dokładnie taki sam jak zbiór rozwiązań nierówności

(x− 3)(x+ 1) < 0

W przypadku słabej nierówności

x − 3 ------≤ 0 x + 1

trzeba być odrobinę ostrożniejszym, bo rozwiązaniem nierówności

(x− 3)(x + 1) ≤ 0

jest między innymi $x = − 1$ , które nie jest rozwiązaniem wyjściowej nierówności ze względu na $x+ 1$ w mianowniku. Jest to jednak jedyny problem – wyrzucamy $x = − 1$ ze zbioru rozwiązań i mamy rozwiązanie $x ∈ (− 1,3 ⟩$ . Inny sposób rozpatrywania takiej sytuacji, to osobno rozważyć przypadek $x−3- x+1 = 0$ (czyli $x = 3$ ), a potem rozwiązywać nierówność ostrą $xx−+-31 < 0$ .

Jeszcze jeden przykład

(x − 3 )2(x + 1 )(x− 2) ≥ 0.

Czynnik $(x − 3)2$ jest dodatni dla $x ⁄= 3$ . Pamiętamy więc, żeby dołożyć $x = 3$ do zbioru rozwiązań (gdyby nierówność była ostra to nie dokładamy) i dzielimy przez $2 (x − 3)$ . Pozostaje nam nierówność kwadratowa

(x + 1 )(x− 2) ≥ 0.

5Nierówności kwadratowe są blisko związane z nierównościami z wartością bezwzględną. Związek ten pochodzi od równości $√ --2 a = |a |$ i $2 2 |a| = a$ .

Jeżeli spierwiastkujemy nierówność stronami (obie strony są nieujemne)

2 x < 4 |x| < 2,

to widzimy, że nierówności $x 2 < 4$ i $|x| < 2$ są sobie równoważne – rozwiązaniem każdej z nich jest przedział $(− 2,2)$ .

Spróbujmy rozwiązać nierówność

|x|+ x < 2 |x| < 2 − x /()2

Podniesiemy teraz nierówność do kwadratu, aby to zrobić musimy wiedzieć, że prawa strona jest nieujemna, czyli $x ≤ 2$ (jeżeli prawa strona jest ujemna, to nierówność na pewno nie jest spełniona).

x < 4− 4x + x2 0 < x2 − 5x + 4 Δ = 9 ⇒ x 1 = 1, x2 = 4 x ∈ (−∞ ,1 )∪ (4,+ ∞ ) ⇒ x ∈ (− ∞ ,1).

Na koniec podkreślmy, że bardzo ważne było sprawdzenie, kiedy strony nierówności są nieujemne – inaczej otrzymalibyśmy błędną odpowiedź.

6Nierówność kwadratowa postaci

(x− a)2 ≥ 0

jest niezwykle popularnym motywem w wielu zadaniach na dowodzenie nierówności.

Uzasadnijmy, że średnia arytmetyczna liczb nieujemnych jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej.

a+--b- √ --- 2 ≥ ab √ --- 2 a + b ≥ 2 ab () a2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab a2 − 2ab + b 2 ≥ 0 2 (a − b) ≥ 0 .

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu poradnika?
Zauważyłeś błąd lub literówkę?
Masz pomysł jak ulepszyć poradnik?
Napisz nam o tym!

Dobre Wypracowania	Szybka nauka języków obcych

19,97 zł Jak samodzielnie pisać wypracowania i otrzymywać z nich wysokie oceny bez większego wysiłku?	29,90 zł Jak nauczyć się nowego języka obcego, używając właściwych sposobów nauki i odblokowując możliwości swojego umysłu?