Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR

Równania i nierówności trygonometryczne

Równania trygonometryczne w zasadzie nikomu się dobrze nie kojarzą. Powód jest prosty: na ogół mają nieskończenie wiele rozwiązań, więc samo zapisanie rozwiązań bywa kłopotliwe. Wykresy Rozwiązując równania/nierówności trygonometryczne nie do przecenienia są wykresy. Trzeba rozwiązać wiele przykładów, zanim będziemy umieli pisać rozwiązania równań/nierówności trygonometrycznych bez rysowania wykresu – na początku wykresy są niezbędne.


PIC



PIC


Oczywiście nie są nam potrzebne dokładne wykresy, na ogół wystarczy nam szkic. Najprostsze równania Bardzo wiele zadań sprowadza się do jednego ze wzorków:

sin x = 0 ⇐ ⇒ x = kπ π sin x = 1 ⇐ ⇒ x = --+ 2kπ 2π sin x = − 1 ⇐ ⇒ x = − -- + 2kπ 2 co sx = 0 ⇐ ⇒ x = π-+ kπ 2 co sx = 1 ⇐ ⇒ x = 2k π co sx = − 1 ⇐ ⇒ x = (2k + 1)π .

W każdym z powyższych wzorów literka k jest dowolną liczbą całkowitą, co zwykle krótko się zapisuje: k ∈ C . Jak już wspominaliśmy, jest to typowa sytuacja w przypadku równań/nierówności trygonometrycznych – na ogół mają one nieskończenie wiele rozwiązań.

Jeżeli chodzi o same wzory, to radzę dobrze się im poprzyglądać i porównać je z wykresami odpowiednich funkcji. Wzory te opisują punkty, w których sinus/cosinus mają dołki i górki, oraz punkty, w których ich wykresy przecinają oś Ox . Przed dalszą lekturą radzę na tyle się z tymi wzorkami oswoić, żeby umieć je wszystkie napisać nie zaglądając do powyższej listy. Oczywiście nie należy ich się uczyć na pamięć! – chodzi o umiejętność odczytywania ich z wykresów. W szczególności ważne jest, żeby rozumieć, dlaczego w niektórych jest kπ , a w innych 2k π . Proste równania: tangens i cotangens Stosunkowo łatwe do rozwiązania są równania postaci tgx = a lub ctgx = a : jeżeli znamy chociaż jedną liczbę x0 , która spełnia to równanie, to wszystkie rozwiązania są postaci x = x 0 + k π, k ∈ C (funkcje te powtarzają się dokładnie co π ).

A skąd wziąć x0 ? Jeżeli  √-3 √ -- a ∈ {0, 3 ,1, 3} , to rozwiązanie x0 odczytujemy z tabelki

kąt 0 π6 π4 π3- π2-
tangens 0 √- -3- 3 1 √ 3- ± ∞
cotangens± ∞ √ -- 3 1 √- 33- 0

W przypadku wartości a > 0 , których nie ma w powyższej tabelce, możemy co najwyżej odczytać z tablic przybliżoną wartość x0 .

Jeżeli natomiast a < 0 , to postępujemy podobnie jak wyżej, ale bierzemy − x0 , gdzie x0 jest rozwiązaniem równania tgx = −a /ctg x = −a (to jest dobrze, bo tg(−x ) = − tg x i ctg(−x ) = − ctgx ).

Rozwiązania równania  √ -- tgx = − 3 możemy zapisać w postaci x = − π-+ kπ 3 , gdzie k ∈ C .

Rozwiążmy równanie |ctg x| = 1 . Mamy

 ctg x = 1 ∨ ctg x = − 1 x = π-+ kπ ∨ x = − π- + kπ , k ∈ C . 4 4

PIC

Proste równania: sinus i cosinus Odrobinę trudniej jest w przypadku funkcji sinus i cosinus. Jeżeli a ⁄= 0 i a ⁄= ±1 , to są dwa rodzaje rozwiązań równania sin x = a /cosx = a : jedne są na rosnących górkach, a drugie na malejących. Jeżeli mamy rozwiązania x 1 i x 2 obu typów, to wszystkie rozwiązania są postaci x = x1 + 2kπ, x = x 2 + 2k π , gdzie k ∈ C .


PIC


Zatem rozwiązywanie takiego równania sprowadza się do znalezienia jednego rozwiązania na rosnącej górce i jednego na malejącej.

Patrząc ponownie na wykresy sinusa i cosinusa, łatwo odczytać jak znaleźć drugie rozwiązanie x 2 , gdy mamy x 1 :

  • W przypadku cosinusa można zawsze wziąć x2 = −x 1 (bo cos(−x ) = cosx ). W tym przypadku często rozwiązanie równania zapisuje się w postaci x = ±x 1 + 2kπ .
  • Dla sinusa zwykle bierze się x = π − x 2 1 (bo sin(π − x ) = sin x ) i wszystkie rozwiązania to x1 + 2kπ lub π − x1 + 2kπ .

No dobrze, powiedzieliśmy już jak znaleźć x 2 mając x1 , ale skąd wziąć x1 ?

Jeżeli a > 0 to zawsze możemy znaleźć rozwiązanie x1 , które jest w przedziale  π- (0 ,2) . Jeżeli  1 √-2 √-3 a ∈ { 2, 2 , 2 } to rozwiązanie odczytujemy z tabelki

kąt π- 6 π- 4 π- 3
sinus 1 2 √ 2 -2- √ 3 -2-
cosinus√- -3- 2 √ - --2 2 1 2

Rozwiązania równania  √ - sin x = --3 2 możemy zapisać w postaci:

 π- 2π- x = 3 + 2kπ ∨ x = 3 + 2kπ, k ∈ C .

Rozwiązania równania  √3- co sx = 2 możemy zapisać w postaci:

 π π x = − --+ 2kπ ∨ x = -- + 2kπ , k ∈ C . 6 6

Możemy też zapisać je skrótowo x = ± π-+ 2kπ , k ∈ C 6 .

Jeżeli natomiast a < 0 , to w przypadku funkcji sin x bierzemy − x 1 , gdzie x1 jest rozwiązaniem równania z prawą stroną równą − a . W przypadku funkcji cosx bierzemy π − x1 .

Rozwiązania równania sin x = − 12 to

 π- 7π- x = − 6 + 2kπ ∨ x = 6 + 2kπ, k ∈ C .

Równie dobrze możemy wziąć

x = − π- + 2kπ ∨ x = − 5π-+ 2k π, k ∈ C . 6 6

Rozwiązaniem równania  1 cosx = − 2 jest zbiór x = ± 2π-+ 2kπ , k ∈ C 3 .

Jak to zapamiętać? Zanim przejdziemy dalej, warto na chwilę się zatrzymać i pozbierać to, co do tej pory ustaliliśmy. Rozwiązanie równania sin x = a /co sx = a /tg x = a/ ctg x = a zawsze sprowadza się do pytania: w jakich punktach prosta y = a przecina wykres odpowiedniej funkcji. Jak te punkty znaleźć? – oczywiście trzeba naszkicować wykres funkcji i odczytać z wykresu. Zamiast uczyć się na pamięć wyżej wypisanych reguł, wystarczy zapamiętać, że w przypadku sinusa/cosinusa i a ⁄∈ {− 1,0,1} są dwa rodzaje rozwiązań, a we wszystkich pozostałych przypadkach wystarczy znaleźć jedno rozwiązanie i skorzystać z okresowości odpowiedniej funkcji. W każdym z przypadków, wszystko co jest nam potrzebne do napisania rozwiązań znajdziemy na wykresie. Proste nierówności Jeżeli umiemy już rozwiązywać równania postaci sin x = a /co sx = a /tg x = a/ ctg x = a , to rozwiązywanie analogicznych nierówności nie powinno sprawiać żadnego problemu. Nie będziemy tu wypisywać regułek ani wzorków, bo to nie ma sensu – zawsze rysujemy obrazek i patrzymy na nim o co chodzi.

Rozwiążmy nierówność  √ - |sin x| < --2 2 .
Dana nierówność jest równoważna nierówności

 √ -- √ -- 2 2 − ----< sin x < ----. 2 2

PIC Szukamy zatem na wykresie przedziałów, na których sinus jest w przedziale  √ - √ - (− --2,--2) 2 2 . Gdy się przyjrzymy, to widać, że są dwa rodzaje takich przedziałów: zielone i niebieskie. Ponieważ umiemy już rozwiązywać równanie  √- sin x = ± 22- , nie jest trudno opisać te przedziały, są to

( ) ( ) − π-+ 2kπ , π-+ 2k π oraz 3π- + 2kπ , 5π + 2kπ . 4 4 4 4

Bardziej skomplikowane równania/nierówności Rozwiązywanie ogólnych równań trygonometrycznych prawie zawsze polega na przekształcaniu równania/nierówności do postaci, w której pozostają nam do rozwiązania proste równania/nierówności, o których pisaliśmy wyżej. Jak to robić? Na tym polega cała zabawa – do tego trzeba mieć dobrze opanowaną umiejętność posługiwania się tożsamościami trygonometrycznymi. Można wyróżnić dwie najważniejsze metody postępowania.
1. Przekształcamy dane równanie/nierówność tak, aby występowała w nim tylko jedna funkcja trygonometryczna. Możemy wtedy za nią podstawić i otrzymamy równanie/nierówność bez funkcji trygonometrycznych.

Rozwiążmy równanie tgx + ctg x = 2 .
Ponieważ  -1- ctg x = tgx , możemy podstawić t = tgx , co daje nam równanie

 1 t+ --= 2 2 t t + 1 = 2t (t− 1)2 = 0 ⇐ ⇒ t = 1 tgx = 1 ⇐ ⇒ x = π-+ kπ, k ∈ C . 4

Rozwiążmy nierówność  2 co s 2x + sin 2x ≥ 1 .
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i podstawiamy t = sin 2x .

 2 2 sin 2x ≥ 1 − cos 2x = sin 2x 2 t ≥ t ⇐ ⇒ 0 ≥ t(t− 1) ⇐ ⇒ t ∈ ⟨0,1⟩ sin 2x ∈ ⟨0,1⟩ ⇐ ⇒ sin2x ≥ 0 ( (2k + 1)π ) 2x ∈ (2k π,(2k + 1)π ) ⇐ ⇒ x ∈ kπ ,---------- , k ∈ C. 2

2. Inny popularny sposób, to przekształcenie równania/nierówności do postaci, w której z lewej strony mamy iloczyn prostych wyrażeń, a z prawej strony 0.

Rozwiążmy równanie sin2x = sinx .
Przekształcamy

2 sin xc osx − sin x = 0 1- sin x(2co sx − 1) = 0 ⇐ ⇒ sin x = 0 ∨ co sx = 2 π- x = k π ∨ x = ± 3 + 2kπ, k ∈ C .
Wersja PDF
Login Hasło
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać (telefonicznie) 3,92 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.