Zadania.info: zestaw nr 59844, Próbna matura 2008, poziom rozszerzony, 10

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2008

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 7 marca 2008 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(5 pkt.)

Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Zadanie 2

(4 pkt.)

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej $f (x) = ax$ dla $x ∈ R$

Narysuj wykres funkcji $g$ , który jest obrazem wykresu funkcji $f$ w przesunięciu o wektor $→u = [2,− 1]$ .
Wyznacz $a$ i zapisz wzór funkcji $g$ otrzymanej w wyniku tego przesunięcia.
Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których $g(x) > 0$ .

Zadanie 3

(4 pkt.)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania $x 3 + m 3x2 − m 2x − 1 = 0$ jest liczba 1.

Zadanie 4

(5 pkt.)

Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu $y = 2x − 3$ w punkcie $A = (2,1)$ i styczny do prostej o równaniu $y = 1 x+ 9 2$ w punkcie $B = (− 4,7)$ . Oblicz promień tego okręgu.

Zadanie 5

(3 pkt.)

Narysuj wykres funkcji $f (x) = |x− 1|+ 3$ określonej dla $x ∈ R$ , a następnie na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania $f(x ) = m$ w zależności od parametru $m ∈ R$ .

Zadanie 6

(5 pkt.)

Właściciel sklepu z odzieżą kupił w hurtowni koszulki, płacąc za nie 720 zł. Gdyby każda koszulka kosztowała o 2 złote mniej, to za tę samą kwotę mógłby kupić o 5 koszulek więcej. Oblicz, ile koszulek kupił w tej hurtowni wspomniany właściciel sklepu. Podaj cenę jednej koszulki.

Zadanie 7

(4 pkt.)

W czworokącie wypukłym $ABCD$ dane są: $|AB | = 2$ , $√ -- |BC | = 3$ , $|CD | = 3$ , $|DA | = 4$ i $|∡DAB | = 60∘$ . Oblicz pole tego czworokąta.

Zadanie 8

(5 pkt.)

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna $ABC$ zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem $∘ α = 6 0$ . Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się $√ -- 8 3$ . Zaznacz na poniższym rysunku kąt $α$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 9

(5 pkt.)

W trójkącie równoramiennym $ABC$ , w którym $|AC | = |BC |$ wysokość $CE$ jest dwa razy dłuższa od wysokości $AD$ (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta $ABC$ .

Zadanie 10

(5 pkt.)

Ciąg geometryczny $(an )$ jest określony wzorem $1−n an = 3$ dla $n ≥ 1$ .

Oblicz iloraz tego ciągu.
Oblicz $log 3a1 + log3a 2 + log3 a3 + ⋅⋅⋅+ log 3a100$ czyli sumę logarytmów, o podstawie 3, stu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.