Zadania.info: zestaw nr 82458, Matura poprawkowa 2010 (sierpień 2010), poziom rozszerzony, 1193

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010/Matura

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 23 sierpnia 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(4 pkt.)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania $2 sin2x − 7 cosx − 5 = 0$ należące do przedziału $⟨0,2π ⟩$ .

Zadanie 2

(4 pkt.)

Rozwiąż nierówność $|2x + 2|+ |x− 2| > 5$ .

Zadanie 3

(5 pkt.)

Dane są punkty $A = (1,5), B = (9,3)$ i prosta $k$ o równaniu $y = x + 1$ . Oblicz współrzędne punktu $C$ leżącego na prostej $k$ , dla którego suma $|AC |2 + |BC |2$ jest najmniejsza.

Zadanie 4

(5 pkt.)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x2 − (m − 4)x + m 2 − 4m = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od $3 2m − 3$ .

Zadanie 5

(4 pkt.)

Narysuj wykres funkcji $f$ określonej wzorem $2 f(x ) = x − 4|x|$ i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania $f(x) = m$ w zależności od wartości parametru $m$ .

Zadanie 6

(4 pkt.)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ spełniona jest nierówność

∘ -------- ∘ -------- 4 a4 +-b4 a2 +-b2 2 ≥ 2 .

Zadanie 7

(5 pkt.)

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $√ -- 12 3$ , a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

Zadanie 8

(4 pkt.)

Odcinek $CD$ jest zawarty w dwusiecznej kąta $ACB$ trójkąta $ABC$ . Kąty trójkąta $ABC$ mają miary $|∡CAB | = 42 ∘, |∡ABC | = 78 ∘$ . Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $E$ (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta $CDE$ .

Zadanie 9

(4 pkt.)

Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 10

(6 pkt.)

Punkt $A = (2,− 3)$ jest wierzchołkiem rombu $ABCD$ o polu równym 300. Punkt $S = (3,4)$ jest środkiem symetrii tego rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.