Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR

Przekształcenia wykresów funkcji

Cała zabawa z przekształcaniem wykresów funkcji sprowadza się do następującego pytania: w jaki sposób zmieni się wzór funkcji jeżeli dokonamy przekształcenia jej wykresu? Oczywiście odpowiedź zależy od tego, jakie przekształcenie mamy na myśli. Przesuwanie wykresów Jest prosta zależność między przesunięciem wykresu funkcji, a zmianą jej wzoru. Zanim jednak przejdziemy do szczegółów wyjaśnijmy, że przesunięcie wykresu o m jednostek wzdłuż osi oznacza przesunięcie wykresu o m jednostek w kierunku strzałki na osi jeżeli m > 0 , oraz o |m | jednostek w przeciwnym kierunku jeżeli m < 0 .

Przesunięcie wykresu funkcji o 2 jednostki wzdłuż osi Ox i o − 3 jednostki wzdłuż osi Oy oznacza przesunięcie wykresu o 2 jednostki w prawo i o 3 w dół.

Żeby się nie pogubić, osobno przedstawimy każdą z trzech możliwych konfiguracji.
1. Przesunięcie wykresu o q jednostek wzdłuż osi Oy . Jest to zdecydowanie najprostsza sytuacja: wzór funkcji y = f (x) po przesunięciu będzie miał postać

y = f(x) + q.

Mam nadzieję, że nie budzi to wątpliwości: dodanie do wzoru funkcji liczby q > 0 sprawia, że każda wartość funkcji jest większa o q , czyli wykres przesuwa się o q jednostek do góry. Jeżeli natomiast q < 0 to wartości się zmniejszają, czyli przesuwamy w dół.

Pierwszy wykres przedstawia parabolę y = x2 + 3 , a drugi parabolę y = x2 − 3 .
PIC Obie parabole powstają przez przesunięcie paraboli y = x2 o 3 jednostki: pierwsza do góry, a druga w dół.

2. Przesunięcie wykresu o p jednostek wzdłuż osi Ox . Tym razem wzór funkcji y = f(x ) po przesunięciu będzie miał postać

y = f(x − p).

Wyjaśnijmy krótko skąd wziął się minus w nawiasie.

Zastanówmy się jak narysować wykres funkcji y = f(x − 3 ) . W punkcie x = 3 mamy wartość f (0 ) , w punkcie x = 4 mamy wartość f (4− 3 ) = f(1) , itd.: w punkcie x zaznaczamy wartość f (x − 3) . To oznacza, że wszystkie wartości funkcji f , czyli cały wykres, zostały przesunięte o 3 jednostki w prawo. Oczywiście myślimy analogicznie, gdy zamiast 3 jest p .

Pierwszy wykres przedstawia parabolę y = (x− 3)2 , a drugi parabolę y = (x+ 3)2 .
PIC Obie parabole powstają przez przesunięcie paraboli y = x2 o 3 jednostki: pierwsza do prawo, a druga w lewo.

3. Przesunięcie wykresu o wektor [p,q] . W zasadzie jest to połączenie dwóch poprzednich sytuacji: przesunięcie wykresu o wektor [p,q ] to dokładnie to samo, co jednoczesne przesunięcie o p jednostek wzdłuż osi Ox i q jednostek wzdłuż osi Oy . Mamy więc wzór przesuniętej funkcji:

y = f(x − p) + q.

Pierwszy wykres przedstawia parabolę y = (x+ 3)2 + 2 , a drugi parabolę y = (x− 3)2 − 2 .
PIC Obie parabole powstają przez przesunięcie paraboli y = x2 : pierwsza o wektor [− 3,2] , a druga o wektor [3 ,− 2 ] .

Odbicia wykresów Rozpocznijmy od najprostszej sytuacji.

Wykres funkcji y = −f (x ) powstaje z wykresu y = f (x) przez odbicie względem osi Ox .

Podobnie jest odbiciem względem osi Oy .

Wykres funkcji y = f(−x ) powstaje z wykresu y = f(x ) przez odbicie względem osi Oy .

Mam nadzieje, że powyższe wzory wydają się wam dość oczywiste, jeżeli jednak tak nie jest, to spróbujcie pomyśleć w jaki sposób narysować wykresy funkcji y = −f (x) i y = f (−x ) , jeżeli umiecie liczyć wartości funkcji y = f (x) (czyli znacie jej wykres).

Pierwszy wykres przedstawia funkcję  x y = − (2 + 1) , a drugi

 ( 1 )x y = 2 −x + 1 = -- + 1. 2


PIC Oba wykresy powstają przez odbicie wykresu funkcji  x y = 2 + 1 : pierwszy względem osi Ox , a drugi względem osi Oy .

Jeżeli wykonamy oba powyższe odbicia na raz, to otrzymamy symetrię względem początku układu współrzędnych.

Wykres funkcji y = −f (−x ) powstaje z wykresu y = f (x) przez symetrię względem punktu (0,0) .

Na lewym obrazku narysowany jest wykres funkcji y = − (2−x + 1) = − 0,5x − 1 , który powstaje z wykresu funkcji y = 2x przez symetrię względem początku układu współrzędnych.
PIC Prawy obrazek pokazuje, że symetria względem początku układu współrzędnych to dokładnie to samo, co wykonanie odbicia względem osi Ox , a potem względem osi Oy (kolejność tych odbić nie ma znaczenia).

Złożenia z wartością bezwzględną Jak zwykle zaczynamy od najprostszej sytuacji.

Wykres funkcji y = |f (x)| powstaje z wykresu y = f(x) przez odbicie części znajdującej poniżej osi Ox do góry.

Powyższe sformułowanie jest dość niezręczne, ale powinno być jasne, o co chodzi: punkty wykresu, które są powyżej osi Ox pozostają na swoim miejscu, a punkty, które są poniżej osi Ox , odbijamy względem tej osi (czyli wędrują do góry).

Na poniższym obrazku narysowaliśmy wykresy: wielomianu y = 0,1x3 − 2x oraz funkcji  3 y = |0,1x − 2x| .
PIC

Jeżeli natomiast wstawimy wartość bezwzględną do środka funkcji y = f (x) , czyli zajmujemy się funkcją postaci y = f (|x |) to sytuacja jest odrobinę ciekawsza. Zauważmy, że jeżeli x ≥ 0 to nowo otrzymana funkcja niczym się nie różni od funkcji y = f(x) (bo wtedy |x| = x ), czyli na prawo od osi Oy wykresy obydwu funkcji będą identyczne. Jeżeli natomiast x < 0 to mamy f(|x|) = f(−x ) , czyli wykres na lewo od osi Oy powstaje przez odbicie prawej części wykresu y = f(x) względem tej osi.

Wykres funkcji y = f(|x|) powstaje z wykresu y = f(x) przez pozostawienie fragmentu wykresu na prawo od osi Oy bez zmian, oraz przez odbicie tej części wykresu względem osi Oy .

Na poniższym obrazku narysowaliśmy wykresy: funkcji wykładniczej  x y = 2 oraz funkcji y = 2|x| .
PIC

Wersja PDF
Login Hasło
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać (telefonicznie) 3,92 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.