Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

/Studia

Tożsamości trygonometryczne

Bogactwo tożsamości trygonometrycznych jest niewątpliwie źródłem frustracji niejednego ucznia – trzeba dużo wprawy, żeby sprawnie się nimi posługiwać. Z drugiej strony, dzięki tym tożsamościom świat trygonometrii jest niezwykle ciekawy. Jedynka trygonometryczna Najpopularniejszą tożsamością trygonometryczną jest jedynka trygonometryczna

2 2 sin α + cos α = 1

Jedynkę musi znać każdy i należy myśleć, że pozwala ona zamieniać $sin 2α$ na $cos2 α$ i odwrotnie.

Zbadajmy zbiór wartości funkcji $f(x) = 3 sin2x + 5 cos2x$ .
Z jedynki trygonometrycznej mamy

f(x ) = 3(1− cos2x )+ 5 cos2 x = 3 + 2co s2x.

Korzystając teraz z nierówności $0 ≤ cos2x ≤ 1$ łatwo uzasadnić, że zbiór wartości $f(x)$ to przedział $⟨3,5⟩$ .

Wzory redukcyjne Jest wiele wzorów redukcyjnych i dokładnie omówiliśmy je w poradniku o wzorach redukcyjnych. Najważniejsze z nich to

( ) ( ) sin π- − x = cosx cos π-− x = sin x (2 ) ( 2 ) π- π- sin 2 + x = cosx cos 2 + x = − sinx sin (π − x) = sin x cos(π − x) = − cosx sin (π + x) = − sin x cos(π + x) = − cosx.

oraz

( ) ( ) π- π- tg 2 − x = ctg x ctg 2 − x = tg x ( π ) ( π ) tg 2-+ x = − ctg x ctg 2-+ x = − tg x tg (π − x ) = − tgx ctg (π − x ) = − ctg x tg (π + x ) = tgx ctg (π + x ) = ctgx .

Wzory te pozwalają przesuwać argument funkcji trygonometrycznych o wielokrotność $π- 2$ . Ponadto wzory z $π- 2$ pozwalają zamieniać funkcję sinus/tangens na cosinus/cotangens i odwrotnie.

Obliczmy $( ) tg − 411π 4$ .
Liczymy

( 411π ) 411π ( 3π ) tg − ------ = − tg ------= − tg 102π + --- = (4 ) 4 4 3π- (π- π-) π- = − tg 4 = − tg 2 + 4 = ctg 4 = 1.

Rozwiążmy nierówność $( π- ) (π- ) cos 4 + x sin 4 − x ≥ 1$ .
Przekształcamy lewą stronę.

( π ) ( π ( π )) cos --+ x sin --− --+ x = 4( π ) 2 ( π 4 ) ( π ) = co s --+ x ⋅cos --+ x = cos2 --+ x . 4 4 4

Mamy zatem

( π ) ( π ) cos2 --+ x ≥ 1 ⇐ ⇒ co s2 --+ x = 1 4 ( ) 4 ⇐ ⇒ cos π- + x = ± 1 ⇐ ⇒ π-+ x = kπ ⇐ ⇒ x = − π-+ k π. 4 4 4

Podwojenie kąta Mamy dwa niezwykle użyteczne wzorki

2 2 sin2x = 2sin xco sx cos2x = cos x− sin x.

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, drugi z tych wzorów możemy zapisać w postaci

co s2x = 2cos2 x− 1 = 1 − 2sin2 x.

Wzory te bardzo często występują w zadaniach szkolnych, więc warto wyrobić sobie nawyk, że jak widzimy prawą stronę któregoś z tych wzorów, to dzwoni nam dzwoneczek $sin 2x$ / $cos 2x$ .

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji $f(x ) = sin 3x cos 3x$ .
Ze wzoru na $sin2x$ mamy

1 f (x) = sin3x cos 3x = -sin 6x. 2

A więc zbiór wartości funkcji $f$ to przedział $1 1 ⟨− 2,2⟩$ (bo zbiór wartości $sin 6x$ to przedział $⟨− 1,1⟩$ ).

Rozwiążmy równanie $sin 2x = co s2x$ .
Ze wzoru na $cos 2x$ , możemy równanie przekształcić następująco

cos2 x− sin 2x = 0 cos 2x = 0 π π kπ 2x = -- + kπ ⇐ ⇒ x = --+ ---, k ∈ C . 2 4 2

Sumy i różnice kątów Wzory trochę ogólniejsze od wzorów na sinus/cosinus podwojonego kąta:

sin(x + y) = sin xco sy + siny cos x sin(x − y) = sin xco sy − siny cos x cos(x + y ) = cosx cos y− sin x sin y cos(x − y ) = cosx cos y+ sin x sin y.

W zasadzie wystarczy pamiętać tylko pierwszy i trzeci z tych wzorów, dwa pozostałe dostajemy wstawiając do nich $− y$ zamiast $y$ .

Oczywiste zastosowanie tych wzorów to możliwość obliczenia funkcji trygonometrycznych kąta $x + y$ jeżeli znamy funkcje kątów $x$ i $y$ .

Obliczmy $sin 75∘$ .
Liczymy

sin7 5∘ = sin (30∘ + 45∘) = sin 30∘co s45∘ + sin 45∘cos 30∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- = 1-⋅--2-+ --2-⋅--3-= --2+----6. 2 2 2 2 4

Uzasadnij, że jeżeli $cosx = 0$ to $sin (x+ y) = sin(x − y)$ .
Na mocy powyższych wzorów mamy

sin(x + y) = sin xco sy + siny cos x = sinx cos y sin(x − y) = sin xco sy − siny cos x = sinx cos y = sin(x + y).

Sumy i różnice funkcji Ostatnia seria wzorków to wzory na sumy i różnice sinusów/cosinusów.

x + y x − y sin x+ sin y = 2 sin------co s------ 2 2 sin x− sin y = 2 sin x-−-yco s x-+-y 2 2 x-+-y- x-−-y- co sx + cos y = 2co s 2 cos 2 x + y x − y co sx − cos y = − 2sin ------sin ------. 2 2

Wzory te są bardzo użyteczne w równaniach i nierównościach, gdyż pozwalają zamieniać równania typu suma równa 0, na równania typu iloczyn równy 0, a te drugie rozwiązuje się o wiele łatwiej.

Rozwiążmy równanie $cos4x − cos2x = 0$ .
Z wzoru na różnicę cosinusów mamy

− 2 sin 3x sinx = 0.

Czyli $3x = kπ$ lub $x = kπ$ . Stąd $x = kπ- 3$ , $k ∈ C$ .

Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.

Informacje o abonamencie

Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać (telefonicznie) 3,92 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

Podobne strony

Tożsamości trygonometryczne

Login
Hasło