Zadanie nr 7114055
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą podzielną przez 36.
Rozwiązanie
Trzy kolejne liczby całkowite niepodzielne przez 4 możemy oznaczyć przez , i , dla pewnej liczby całkowitej . Suma sześcianów tych liczb jest równa
Wystarczy zatem udowodnić, że liczba
dzieli się przez 36. To z kolei sprowadza się do wykazania, ze liczba
dzieli przez 3.
Sposób I
Jeżeli dzieli się przez 3, to koniec.
Jeżeli daje resztę 1 z dzielenia przez 3, czyli to
więc dzieli się przez 3.
Jeżeli natomiast daje resztę 2 z dzielenia przez 3, czyli to
więc tak jak poprzednio, dzieli się przez 3.
Sposób II
Ponieważ
wystarczy pokazać, że dzieli się przez 3. To jednak jest oczywiste, bo jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.