Zadanie nr 6262289
Rozpatrujemy wszystkie prostokąty , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem dla . Punkty i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem i są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołka , dla którego pole prostokąta jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Rozwiązanie
Jeżeli dla , to , , . Boki prostokąta mają więc długości
Pole prostokąta jest więc równe
dla . Musimy teraz wyznaczyć najmniejszą wartość tej funkcji, więc liczymy jej pochodną.
Rozłóżmy jeszcze wielomian w liczniku – podstawiamy i mamy trójmian kwadratowy
Mamy zatem
Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale i dodatnia w przedziale . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale i rosnąca w przedziale . W takim razie najmniejszą wartość pola otrzymamy dla . Mamy wtedy
Teraz łatwo już obliczyć minimalne pole
Odpowiedź: