Zadanie nr 9553446
Okrąg o środku w punkcie jest określony równaniem . Okrąg ma środek w punkcie takim, że . Promienie tych okręgów są sobie równe. Figura składa się z dwóch okręgów: oraz . Punkty i są punktami przecięcia figury z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym. Wyznacz punkt , leżący na jednej z osi symetrii figury , taki, że pole trójkąta jest równe 40.
Rozwiązanie
Okrąg ma środek w punkcie i promień . Wiemy ponadto, że
Możemy teraz naszkicować opisaną sytuację.
Figura ma oczywiście dwie osie symetrii – jedna z nich to prosta , a druga to prostopadła do niej prosta przechodząca przez punkty wspólne dwóch okręgów. Wyznaczmy równania tych osi symetrii. Równania prostej szukamy w postaci i podstawiamy współrzędne punktów i .
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy
Stąd i prosta ma równanie .
Druga oś symetrii jest prostopadła do , więc ma równanie postaci . Jest ona ponadto symetralną odcinka , więc przechodzi przez jego środek
To pozwala wyznaczyć .
Prosta ma więc równanie .
Wyznaczmy teraz współrzędne punktów i . Podstawiamy do równania okręgu .
Mamy wtedy i odpowiednio. Zatem i (lub odwrotnie - ale nie ma to znaczenia z punktu widzenia dalszej części rozwiązania).
Gdyby punkt leżał na prostej , to pole trójkąta byłoby równe 0, więc punkt musi leżeć na prostej , czyli ma współrzędne postaci . Mamy ponadto
Ta informacja wystarczy do wyznaczenia współrzędnych punktu . Zrobimy to na dwa sposoby.
Sposób I
Liczymy
Mamy wtedy i odpowiednio. Zatem kub .
Sposób II
Korzystamy ze wzoru na odległość d(P,l) punktu od prostej :
Mamy zatem
Mamy wtedy i odpowiednio. Zatem kub .
Odpowiedź: kub