Zadanie nr 1296836

Prosta o równaniu y + x − 7 = 0 zawiera jedną z dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta ABC , w którym A = (1,− 6) i B = (3,8 ) . Oblicz pole tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, że żaden z podanych punktów nie leży na podanej dwusiecznej – jest to więc dwusieczna kąta przy wierzchołku . Szkicujemy teraz opisaną sytuację.

Pole trójkąta ABC będzie łatwe do obliczenia, jeżeli będziemy znali współrzędne jego trzeciego wierzchołka . Obliczymy te współrzędne na dwa sposoby.

Sposób I

Dwusieczna kąta jest jego osią symetrii, więc jeżeli odbijemy prostą względem podanej dwusiecznej, to otrzymamy prostą . Ta obserwacja pozwala napisać równanie prostej – jest to prosta przechodząca przez punkt i punkt ′ B będący obrazem punktu w symetrii względem dwusiecznej . Aby wyznaczyć obraz B ′ punktu w tej symetrii piszemy najpierw równanie prostej prostopadłej do dwusiecznej i przechodzącej przez punkt . Jest to prosta postaci y = x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

8 = 3+ b ⇒ b = 5.

Prosta BB ′ ma więc równanie y = x + 5 . Wyznaczmy jej punkt wspólny z dwusieczną .

{ y = −x + 7 y = x + 5

Dodajemy równania układu stronami i mamy

2y = 1 2 ⇒ y = 6.

Stąd

x = y − 5 = 1

i S = (1,6) . Punkt jest środkiem odcinka BB ′ , więc

′ S = B-+-B-- ⇒ B′ = 2S − B = (2,12) − (3,8) = (− 1,4). 2

Teraz możemy napisać równanie prostej , czyli prostej AB ′ . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i ′ B .

{ − 6 = a + b 4 = −a + b

Dodajemy równania układu stronami i mamy

− 2 = 2b ⇒ b = − 1.

Stąd a = − 6 − b = − 5 i prosta ma równanie y = −5x − 1 . Szukamy teraz punktu wspólnego danej dwusiecznej i prostej .

{ y = −x + 7 y = − 5x− 1

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

0 = 4x + 8 ⇒ x = − 2.

Stąd y = −x + 7 = 9 i C = (− 2,9) . Pozostało obliczyć pole trójkąta ABC . Korzystamy ze wzoru

PABC = 1-|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

Mamy zatem

1 1 PABC = -|(3− 1)(9+ 6)− (8 + 6 )(−2 − 1 )| = -|30+ 42| = 36. 2 2

Sposób II

Tym razem zacznijmy od wyznaczenia równania prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ − 6 = a + b 8 = 3a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

14 = 2a ⇒ a = 7.

Stąd b = − 6 − a = 13 i prosta ma równanie y = 7x− 13 . Wyznaczmy teraz jej punkt wspólny z daną dwusieczną.

{ y = 7x − 13 y = −x + 7

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

0 = 8x − 20 ⇒ x = 20-= 5-. 8 2

Stąd

y = −x + 7 = − 5-+ 7 = 9- 2 2

i (5 9) D = 2, 2 Korzystamy teraz z twierdzenia o dwusiecznej

∘ (------)2---(-----)2 ┌│ ------- ∘ ------- AC AD 52 − 1 + 92 + 6 │ 32+2412 1 + 72 ----= ----= ∘-(------)2---(-----)2 = ∘ -1+-72- = 3 -----2-= 3. BC BD 52 − 3 + 92 − 8 4 1 + 7

Ta informacja pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu . Wiemy, że leży on na danej dwusiecznej, więc ma współrzędne postaci C = (x,−x + 7) . Ponadto

AC 2 = 9BC 2 [ ] (x− 1)2 + (−x + 7 + 6 )2 = 9 (x − 3 )2 + (−x + 7 − 8)2 [ ] (x − 1 )2 + (−x + 13 )2 = 9 (x − 3 )2 + (−x − 1)2 x2 − 2x+ 1+ x2 − 26x + 169 = 9(x2 − 6x + 9 + x2 + 2x + 1) 2 0 = 16x − 8x − 80 / : 8 0 = 2x2 − x − 10.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

2 Δ = 1+ 80 = 81 = 9 1 − 9 1 + 9 5 x = ------= −2 lub x = ------= -. 4 4 2

Drugie rozwiązanie da nam współrzędne punktu , więc x = −2 i

C = (x ,−x + 7 ) = (− 2,9).

Pole trójkąta możemy obliczyć tak jak w poprzednim sposobie, ale możemy też zrobić to bardziej bezpośrednio – ze wzoru na odległość od prostej. Wysokość trójkąta ABC opuszczona na podstawę AB : y − 7x + 13 = 0 jest równa