Zadanie nr 7924288

Podstawa trójkąta równoramiennego ABC jest zawarta w prostej o równaniu y = − 2x − 3 . Wierzchołki i mają współrzędne B = (− 2,1) i C = (8,− 1) . Oblicz współrzędne wierzchołka i pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ punkt leży na prostej y = − 2x− 3 , więc ma on postać A = (x,− 2x − 3) .

Zapiszmy teraz warunek BC = AC .

BC 2 = AC 2 (8 + 2)2 + (− 1 − 1)2 = (8 − x)2 + (− 1 + 2x + 3)2 = (8 − x )2 + (2x + 2)2 2 2 10 0+ 4 = 64 − 16x + x + 4x + 8x + 4 0 = 5x2 − 8x − 36 Δ = 64 + 720 = 784 = 2 82 8 − 28 8 + 28 36 18 x = -------= − 2 lub x = -------= ---= ---= 3,6. 10 10 10 5

Pierwsze rozwiązanie daje współrzędne punktu , więc musi być x = 185 , czyli

( ) ( ) 1-8 36- 18- 51- A = (x,− 2x − 3) = 5 ,− 5 − 3 = 5 ,− 5 .

Aby obliczyć pole trójkąta ABC , korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

1 PABC = --|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

Mamy więc

|( ) ( ) ( ) ( ) | 1 | 1 8 51 51 18 | PABC = --|| − 2 − --- ⋅ − 1+ --- − 1+ --- ⋅ 8− --- || = 2 |( ) 5 5| | 5 | 5 1-|| 2-8 46- 56- 2-2|| 1-||−-1288-−-12-32|| = 2 | − 5 ⋅ 5 − 5 ⋅ 5 | = 2 | 25 | = = 1-⋅ 252-0 = 2-52. 2 25 5

Sposób II

Napiszmy najpierw równanie wysokości trójkąta ABC . Jest to prosta postaci 1 y = 2x + b (bo jest prostopadła do ) oraz przechodzi przez punkt , więc

− 1 = 4+ b ⇒ b = − 5.

Szukamy teraz punktu wspólnego prostych i .

{ y = 12x− 5 y = − 2x − 3.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

1 0 = -x + 2x − 5 + 3 2 2 = 5x ⇒ x = 4. 2 5

Stąd y = − 2x − 3 = − 85 − 3 = − 235 i ( ) D = 45,− 253 . Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, spodek wysokości jest środkiem jego podstawy . Stąd