/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Przechodzący przez punkty

Zadanie nr 9131156

Napisz równanie okręgu, którego środek leży na prostej y = − 2x , i który przechodzi przez punkty A = (− 4,− 5) i B (− 2,− 1) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Wyznaczmy najpierw środek szukanego okręgu. Wiemy, że leży on na prostej y = − 2x , więc ma współrzędne postaci S = (x,− 2x) . Punkt ten musi być równo odległy od punktów A i B – zapiszmy ten warunek.

AS 2 = BS 2 (x + 4)2 + (− 2x + 5)2 = (x + 2)2 + (− 2x + 1)2 2 2 2 2 x + 8x + 16 + 4x − 2 0x+ 25 = x + 4x + 4 + 4x − 4x+ 1 36 = 12x ⇒ x = 3 .

Zatem środek okręgu ma współrzędne S = (3,− 6) . Pozostało obliczyć jego promień.

∘ --------------------- √ ------- √ --- AS = (3 + 4)2 + (− 6+ 5)2 = 49 + 1 = 50.

Możemy teraz napisać równanie okręgu

2 2 (x − 3) + (y + 6) = 50.

 
Odpowiedź: (x − 3)2 + (y + 6)2 = 50

Wersja PDF