/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 2669125

Okrąg o środku w punkcie S = (−2 ,7) jest styczny do prostej o równaniu y = − 2x+ 7 . Oblicz współrzędne punktu styczności.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że jeżeli A jest szukanym punktem styczności, to dana prosta

k : y = −2x + 7

i prosta SA są prostopadłe. To pozwala dość łatwo napisać równanie prostej SA . Ma być ona prostopadła do k , czyli musi być postaci y = 1x + b 2 . Współczynnik b obliczamy podstawiając współrzędne punktu S = (− 2,7) .

1 7 = --⋅(− 2) + b ⇒ b = 7 + 1 = 8. 2

Pozostało teraz wyznaczyć punkt wspólny A prostych SA i k .

{ y = − 2x + 7 y = 12x + 8.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

1- 0 = 2 x+ 2x + 8 − 7 5 2 − 1 = --x / ⋅-- 2 5 x = − 2-= − 0,4. 5

Zatem

y = − 2x + 7 = 7,8

i A = (− 0,4;7,8)  
Odpowiedź: ( ) A = − 25, 395- = (− 0,4;7,8)

Wersja PDF