/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 6312180

W kwadracie ABCD punkty A = (− 8,− 2) oraz C = (0,4) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną BD tego kwadratu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku

PIC

Z obrazka widzimy, że musimy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej AC i przechodzącej przez środek odcinka AC , czyli przez punkt

( ) −-8-+-0 −-2-+-4 S = 2 , 2 = (− 4,1).

Zrobimy to na trzy sposoby.

Sposób I

Szukana prosta jest symetralną odcinka AC , czyli zbiorem punktów P = (x,y) , które są w tej samej odległości od punktów A i C . Otrzymujemy stąd równanie

PA 2 = P C2 (x + 8)2 + (y+ 2)2 = (x − 0)2 + (y − 4)2 2 2 2 2 x + 16x + 64 + y + 4y + 4 = x + y − 8y+ 16 12y = −1 6x− 52 / : 8 1 6 52 4 13 y = − ---x − ---= − -x − --. 1 2 12 3 3

Sposób II

Zacznijmy od napisania równania prostej AC . Szukamy prostej postaci y = ax+ b . Podstawiając współrzędne punktów A i C otrzymujemy układ równań.

{ −2 = − 8a+ b 4 = b

Z pierwszego równania mamy

6 3 8a = 2 + b = 2 + 4 = 6 ⇒ a = --= --. 8 4

Zatem prosta BD , jako prostopadła do AC musi mieć współczynnik kierunkowy 4 − 3 , czyli jest postaci 4 y = − 3x + b dla pewnego b . Współczynnik b obliczamy podstawiając współrzędne punktu S = (− 4,1) .

1 = − 4-⋅(− 4) + b ⇐ ⇒ b = 1− 16-= − 13. 3 3 3

Zatem szukana prosta ma równanie 4 13- y = − 3x − 3 .

Sposób III

Tym razem skorzystamy ze wzoru

p(x − a )+ q(y − b ) = 0

na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p ,q] i przechodzącej przez punkt S = (a ,b ) . W naszej sytuacji mamy

→ →v = AC = [0 + 8,4 + 2] = [8,6],

oraz

A-+-C-- S = 2 = (− 4,1),

czyli równanie prostej BD ma postać:

8(x + 4)+ 6(y − 1) = 0 / : 6 4 -(x + 4 )+ y − 1 = 0 3 4x + 16-+ y − 1 = 0 3 3 4 13 y = − 3-x− 3-.

 
Odpowiedź: 4 13 y = − 3x− 3

Wersja PDF