Zadanie nr 8383920
W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).
Funkcje oraz są określone wzorami oraz . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych . Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją . Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca pomostu od początku ) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .
Rozwiązanie
Jeżeli jest dowolnym punktem wykresu funkcji , to z treści zadania wiemy, że
więc wystarczy znaleźć najmniejszą możliwą wartość funkcji
Zanim jednak to zrobimy, zastanówmy się jaka jest dziedzina funkcji . Aby to zrobić sprawdźmy w jakich punktach przecinają się wykresy funkcji i . Rozwiązujemy równanie
Dziedzina funkcji zawiera się więc w przedziale
To czy otrzymany zbiór jest dokładnie dziedziną funkcji zależy od tego jak zinterpretujemy treść zadania – czy pomost może częściowo przechodzić nad ziemią. Ale jak zobaczymy w dalszej części rozwiązania ta wątpliwość nie wpływa na odpowiedź – najkrótszą długość pomostu otrzymamy w sytuacji, w której pomost w całości znajduje się nad wodą. W tym momencie wystarczy więc nam informacja, że dziedzina zawiera się w powyższym przedziale i na tym przedziale wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji .
Liczymy teraz pochodną funkcji .
Niestety wszystkie trzy miejsca zerowe pochodnej znajdują się w dziedzinie funkcji . Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w punktach i . W punkcie zmienia znak z dodatniego na ujemny. To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale
potem rośnie w przedziale
potem maleje w przedziale
i znowu rośnie na prawo od . To oznacza, że najmniejszą wartość funkcji otrzymamy w jednym z minimów lokalnych: albo dla albo dla . Możemy teraz obliczyć wartość funkcji w każdym z tych punktów i sprawdzić, dla którego otrzymamy mniejszą długość. Zamiast tego, możemy też zauważyć, że dla odległość punktu od każdego z punktów wykresu funkcji jest większa niż 3 (bo jeżeli , to odcinek łączący punkt z dowolnym punktem wykresu funkcji musi przeciąć oś ).
Z drugiej strony
Najmniejsza możliwa długość pomostu jest więc równa
Odległość tę otrzymamy dla punktu o współrzędnych
Odpowiedź: ,