/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny

Zadanie nr 9898641

Jedno z rozwiązań równania (ax − 2)(cx+ b) = 0 jest równe 6. Ciąg (a,b,c) jest ciągiem arytmetycznym, w którym pierwszy wyraz jest o 8 większy od trzeciego. Znajdź drugie rozwiązanie tego równania.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że jedno z wyrażeń ax − 2 lub cx + b zeruje się dla x = 6 .

Jeżeli zeruje się wyrażenie ax − 2 to mamy

1- 6a − 2 = 0 ⇒ a = 3.

Wtedy c = a − 8 = − 233 i b = a+2c-= − 131 . Pozostało obliczyć drugi pierwiastek

23- 11- 11- − 3 x − 3 = 0 ⇒ x = − 23.

Rozważmy teraz drugą możliwość, gdy x = 6 zeruje wyrażenie cx + b . Mamy wtedy

6c + b = 0 ⇒ b = − 6c.

Wiemy ponadto, że

{ a = c+ 8 2b = a + c

Podstawiamy w ostatniej równości b = − 6c i a = c + 8 .

− 12c = c + 8 + c − 14c = 8 4 c = − --. 7

Mamy zatem

4 52 a = c + 8 = − --+ 8 = ---. 7 7

Pozostało wyznaczyć drugi pierwiastek

52- -7- -7- 7 x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ⋅5 2 = 26 .

Sposób II

Wiemy, że x = 6 jest pierwiastkiem danego równania zatem

(6a − 2 )(6c+ b ) = 0.

Wiemy ponadto, że a = c + 8 oraz

2b = a+ c = 2c+ 8 ⇒ b = c + 4.

Podstawiamy te wyrażenia do danego równania

(6c + 48 − 2)(6c + c + 4) = 0 ( ) ( ) 6 ⋅ c+ 23- ⋅7⋅ c + 4- . 3 7

Zatem c = − 233 lub c = − 47 . W pierwszym przypadku pierwiastki równania są równe

2- --2-- ---2----- -2 x1 = a = c + 8 = − 23+ 8 = 1 = 6 3 3 −b-- −c--−-4 4- 12- 11- x2 = c = c = − 1 − c = − 1 + 23 = − 23.

W drugim przypadku są natomiast równe

x = --2-- = ---2----= -2-= 14-= -7- 1 c+ 8 − 4+ 8 52- 52 26 7 7 x 2 = − 1− 4-= − 1 + 7 = 6. c

 
Odpowiedź: x = − 1213 lub x = 276 .

Wersja PDF