Zadanie nr 6558775
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 18, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 24.
Rozwiązanie
Wiemy, że wylosowana liczba dzieli się przez 2 (bo dzieli się przez 24), więc podzielność przez 18 sprowadza się do podzielności przez 9.
Sposób I
Ustalmy najpierw ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez 24. Są to liczby
Jest więc takich liczb.
Ile spośród tych liczb dzieli się przez 9? – są to liczby podzielne przez 72, czyli liczby
Jest ich więc i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe
Sposób II
Jeżeli oznaczymy przez i zdarzenia polegające na wylosowaniu liczby czterocyfrowej podzielnej odpowiednio przez 18 i 24, to musimy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe
Liczby czterocyfrowe podzielne przez 24 tworzą skończony ciąg arytmetyczny o różnicy i taki, że
Mamy stąd
Zatem
(bo wszystkich liczb czterocyfrowych jest ).
Zajmijmy się teraz zdarzeniem , czyli liczbami, które są jednocześnie podzielne przez 18 i 24. Takie liczby to dokładnie liczby podzielne przez 72. Tworzą one skończony ciąg arytmetyczny o różnicy i taki, że
Mamy stąd
Zatem
i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe
Odpowiedź: