/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Geometryczne

Zadanie nr 6988215

Do wyznaczenia trzech pastwisk na pewnej łące należy użyć ogrodzenia elektrycznego o łącznej długości 960 metrów. Dwa z tych pastwisk mają mieć kwadratowy kształt, a trzecie ma mieć kształt prostokąta, którego jeden z boków jest dwa razy dłuższy od boku pastwiska w kształcie kwadratu (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz wymiary a i b tych pastwisk tak, aby ich łączna powierzchnia była największa możliwa. Oblicz tą największą powierzchnię.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podana długość ogrodzenia prowadzi do równania

96 0 = 4a + 4a + 4a + 2b / : 2 480 = 6a + b ⇒ b = 480 − 6a .

Łączne pole pastwisk jest więc równe

P(a) = a2+ a2 + 2ab = 2a 2+ 2a(48 0− 6a ) = − 10a2+ 9 60a = − 10a(a − 96).

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej

a = 0-+-96-= 48. 2

Największą wartość pola otrzymamy więc dla a = 48 m i

b = 480− 6a = 48 0− 2 88 = 192 m .

Pole obszaru jest wtedy równe

2 P(48 ) = − 10a(a − 96) = − 10 ⋅48 ⋅(− 48) = 23 040 m .

 
Odpowiedź: a = 48 m , b = 192 m , Pmax = 2304 0 m 2

Wersja PDF