/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Geometryczne

Zadanie nr 7349036

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.

ZINFO-FIGURE

Oblicz wymiary oraz jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podana długość ogrodzenia prowadzi do równania

36 = 4x + 6y ⇒ y = 36−--4x-= 6− 2x. 6 3

Suma pól trzech wybiegów jest więc równa

P (x) = x ⋅3y = x ⋅(18 − 2x ) = − 2x(x − 9).

Dziedziną otrzymanej funkcji jest przedział x ∈ (0,9) (bo musi być x > 0 i y > 0 ). Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla