/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Geometryczne

Zadanie nr 8270099

Trawnik ma kształt trójkąta równoramiennego o podstawie 80 m i ramionach długości 50 m. Z powierzchni trawnika postanowiono wydzielić prostokątny plac zabaw w ten sposób, że dwa z wierzchołków tego prostokąta leżą na podstawie, a pozostałe dwa na ramionach trójkąta ograniczającego trawnik (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz wymiary a i b placu zabaw, tak, aby jego pole było największe możliwe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość trójkąta ograniczającego trawnik.

PIC

Wysokość CD obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

∘ ------------ ∘ ---------- ∘ ------- √ -- CD = AC 2 − AD 2 = 502 − 402 = 10 52 − 42 = 10 9 = 30.

Zauważmy, że trójkąty prostokątne ADC i EF C są podobne. Zatem

AD-- CD-- EF = CF 40 30 ---= ------- b2 30 − a 8 1200 − 40a = 15b ⇒ b = 80− -a. 3

Pole placu zabaw jest więc równe

( ) 8 8 P (a) = ab = a 80− -a = − -a(a − 30 ). 3 3

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej

0 + 30 a = -------= 15. 2

Wtedy

8 b = 80 − 3-a = 80 − 40 = 4 0.

 
Odpowiedź: a = 15 m , b = 40 m

Wersja PDF