Zadanie nr 4828435
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz spełniające warunek
Rozwiązanie
Jeżeli dane równanie ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi być kwadratowe, czyli . W takim razie możemy równanie podzielić stronami przez
Sprawdźmy kiedy równanie ma dwa pierwiastki
Musi więc być dodatkowo . Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a
Popatrzmy teraz na nierówność, którą mamy rozwiązać – ze względu na występujący w niej mianownik musi być oczywiście . Ponadto
więc interesującą nas nierówność możemy przekształcić następująco
Podstawiamy teraz ze wzorów Viète’a
Założyliśmy już, że , więc nierówność ta jest równoważna nierówności
Musimy jeszcze rozłożyć wielomian w pierwszym nawiasie na czynniki. Na szczęście sprawa jest dość prosta – gołym okiem widać, że jednym z jego pierwiastków jest . Dzielimy więc ten wielomian przez – my jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy.
Trójmian w drugim nawiasie jest zawsze dodatni (bo ), więc mamy nierówność
Musimy jeszcze uwzględnić zrobione wcześniej założenia i mamy
Odpowiedź: