Zadanie nr 3348110
Rozważamy wszystkie trapezy równoramienne o obwodzie równym 96 i kącie ostrym o mierze .
- Podaj wzór funkcji opisującej zależność pola takiego trapezu od długości jego ramienia.
- Oblicz wymiary tego z rozważanych trapezów, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
- Jeżeli oznaczymy przez wysokość trapezu, to z trójkąta prostokątnego mamy
Pole trapezu jest więc równe
Odpowiedź: - Wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość pola otrzymamy w wierzchołku paraboli, czyli dla (w środku między pierwiastkami). Wtedy pole jest równe
Aby obliczyć długości podstaw trapezu raz jeszcze patrzymy na trójkąt prostokątny .
Jeżeli teraz oznaczmy , to
Stąd
Odpowiedź: Podstawy: i , ramiona: 24 i 24, pole: 288.