/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Różne

Zadanie nr 8330392

Wykaż, że jeżeli pierwiastkiem wielomianu

W (x) = (kx − 3)(kx + 2)(kx− 12)(x + 8) + kx

jest liczba całkowita podzielna przez 5, to k nie jest liczbą całkowitą.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli k jest liczbą całkowitą, to dany wielomian

W (x) = (kx − 3)(kx + 2)(kx− 12)(x + 8) + kx

jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i jego wyraz wolny jest równy

2 3 6 2 (− 3) ⋅2 ⋅(− 12)⋅ 8 = 3⋅ 2⋅3 ⋅2 ⋅2 = 2 ⋅3 .

W takim razie pierwiastek całkowity tego wielomianu musi być dzielnikiem liczby 6 2 2 ⋅ 3 , czyli nie może być liczbą podzielną przez 5. Udowodniliśmy więc, że k nie może być liczbą całkowitą.

Wersja PDF