Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5721752

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD , którego boki mają długości |AB | = 32 i |BC | = 1 8 . Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem α . Ściany boczne BCS i ADS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β . Miary kątów α i β spełniają warunek:  ∘ α + β = 90 . Oblicz tgα oraz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Niech SP będzie wysokością ostrosłupa, a SK ,SL ,SM ,SN niech będą wysokościami ścian bocznych. Wtedy płaszczyzny SP K , SP L , SP M , SP N są prostopadłe do odpowiednich krawędzi podstawy i to pozwala łatwo zidentyfikować kąty nachylenia ścian bocznych płaszczyzny podstawy: ∡SKP = ∡SMP = α i ∡SLP = ∡SNP = β . W szczególności trójkąty prostokątne SKP i SMP są przystające i PM = PK . Analogicznie, przystające są trójkąty SLP i SNP , czyli P N = PL . To oznacza, że punkt P jest środkiem prostokąta ABCD . To z kolei oznacza, że PA = P B = PC = PD i trójkąty SAP , SBP , SCP i SDP są przystające. Stąd SA = SB = SC = SD , czyli wszystkie trójkąty w ścianach bocznych są równoramienne.

Zauważmy, że podana informacja o przystawaniu przeciwległych ścian bocznych jest zupełnie niepotrzebna – wynika to z równości kątów nachylenia przeciwległych ścian bocznych do płaszczyzny podstawy.

Spróbujemy teraz wykorzystać podaną informację o tym, że  ∘ α + β = 9 0 . W trójkątach prostokątnych SP K i SP L mamy

SP--= tg α ⇒ SP = P K tgα = 9tg α PK SP- ∘ -1-- -PL- 1-6- P L = tg β = tg(9 0 − α) = tg α ⇒ SP = tg α = tg α .

Stąd

9 tgα = -16- ⇒ tg2 α = 16- ⇒ tg α = 4. tgα 9 3

Stąd SP = 9tg α = 12 i

 ∘ ----------- √ --------- √ ---- SK = SP 2 + PK 2 = 144 + 81 = 225 = 1 5 ∘ ----------- √ ---------- √ ---- SL = SP 2 + PL 2 = 144 + 256 = 400 = 20 .

Teraz już łatwo obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

Pc = PABCD + 2PABS + 2PDAS = 576 + 32 ⋅15 + 18 ⋅20 = 1 416

 
Odpowiedź:  4 tg α = 3 , Pc = 1 416

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!