/Szkoła średnia

Zadanie nr 1992869

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x wiatraków można opisać funkcją

P (x) = 25 1x,

a koszt K (w złotych) produkcji x wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją

2 K (x) = x + 21x + 170.

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Aby obliczyć zysk Z (x) musimy od przychodu odjąć koszty produkcji.

2 2 Z (x) = P (x)− K(x ) = 251x − (x + 21x + 170) = −x + 230x − 170 = = − (x2 − 2 ⋅115x + 1 152)+ 1152 − 170 = − (x − 11 5)2 + 13055.

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie (115,1305 5) . Ponieważ 1 15 < 150 największy zysk otrzymamy właśnie przy produkcji x = 115 wiatraków tygodniowo. Zysk jest wtedy równy 13055.  
Odpowiedź: x = 115 , maksymalny zysk: 13055 zł

Wersja PDF