/Szkoła średnia

Zadanie nr 2319134

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

  • przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x ) = 196x

  • koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją

    K (x) = 4x 2 + 4x + 240.

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Aby obliczyć zysk Z (x) musimy od przychodu odjąć koszty produkcji.

( ) Z (x) = P (x)− K(x ) = 196x − 4x2 + 4x + 240 = − 4x2 + 192x − 240 = 2 2 2 2 = − 4(x − 2 ⋅24x + 2 4 )+ 4 ⋅24 − 24 0 = − 4(x − 24) + 2064 .

Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie (24,2064) . Ponieważ 24 < 30 największy zysk otrzymamy właśnie przy produkcji x = 24 krzeseł dziennie. Dzienny zysk jest wtedy równy 2064 zł.  
Odpowiedź: x = 24 , maksymalny dzienny zysk: 2064 zł

Wersja PDF