/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki
(termin dodatkowy)
formuła 2015
poziom rozszerzony
2 czerwca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia lo g√2 3⋅log √32 jest równa
A) 1 4 B) 32 C) 23 D) 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Dany jest trójkąt o bokach długości 4, 5 oraz 6. Cosinus największego kąta wewnętrznego tego trójkąta jest równy
A) 1 8 B) 9 16 C) 3 4 D) ( ) − 34

Zadanie 3
(1 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 5x3 − 3x2 + 2x − 7 przez dwumian x+ 2 jest równa
A) (− 63) B) (− 39 ) C) 25 D) 41

Zadanie 4
(1 pkt)

Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x . Fragment wykresu funkcji f przedstawiono na poniższym rysunku.


ZINFO-FIGURE


Funkcja g jest określona wzorem  ( ) g (x) = f 12x dla każdej liczby rzeczywistej x . Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji g .


ZINFO-FIGURE


Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Oblicz granicę

 3 lim --4n--−--2n-+-1---. n→+ ∞ 3n3 − n2 − 2n + 3

Zadanie 6
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = 2x3 − 4x2 + 9x dla każdego x ∈ R . Punkt P = (x0,18) należy do wykresu funkcji f . Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P .

Zadanie 7
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność

a2 + 16-≥ 12. a

Zadanie 8
(3 pkt)

Dany jest okrąg O . Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q . Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D , która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Zadanie 9
(4 pkt)

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2x − -6x---+ ---18x---− --54x---+ ... x − 1 (x − 1 )2 (x− 1)3

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa 15 2 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin 5x + cos x = 0 w zbiorze [− π-, π] 2 2 .

Zadanie 11
(4 pkt)

W pudełku umieszczono n kul (n ≥ 3 ) wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe 37 50 . Oblicz n .

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

mx 2 − (m + 1 )x− 2m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 oraz x2 , spełniające warunki:

 1 1 x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz -2+ -2-< 1. x1 x2

Zadanie 13
(5 pkt)

Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne AC i BD tego czworokąta przecinają się w punkcie E tak, że |BE | = 3⋅|DE | oraz |BD | = 2⋅ |AE | .


ZINFO-FIGURE


Oblicz długości boków czworokąta ABCD .

Zadanie 14
(6 pkt)

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEF GH , w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EF GH ma długość d (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


  • Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V (h) .

  • Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zadanie 15
(7 pkt)

Okrąg o1 o środku w punkcie S1 jest określony równaniem (x− 6)2 + (y+ 1)2 = 16 . Okrąg o2 ma środek w punkcie S2 takim, że  −→ S1S2 = [− 4,4] . Promienie tych okręgów są sobie równe. Figura F składa się z dwóch okręgów: o1 oraz o2 . Punkty M i N są punktami przecięcia figury F z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym. Wyznacz punkt K , leżący na jednej z osi symetrii figury F , taki, że pole trójkąta MNK jest równe 40.

Arkusz Wersja PDF
spinner