/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki
(termin dodatkowy)
poziom podstawowy
2 czerwca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |x+ 5| < 15 jest
A) 9 B) 10 C) 20 D) 21

Zadanie 2
(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x iloczyn √ -- 3√ -- 6√ -- x ⋅ x⋅ x jest równy
A) x B) 1√0-- x C) 1√8-- x D) x2

Zadanie 3
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia liczby 49k2 + 7k − 2 przez 7 jest równa 5.

Zadanie 4
(1 pkt)

Klient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
A) 2100 zł B) 2247 zł C) 4200 zł D) 4347 zł

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba log 1 + log 4 28 2 jest równa
A) (− 1) B) 1 2 C) 2 D) 5

Zadanie 6
(1 pkt)

Liczba  √ --2 √ --2 (1+ 5) − (1− 5) jest równa
A) 0 B) (− 10) C)  √ -- 4 5 D)  -- 2 + 2√ 5

Zadanie 7
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 i 2 wyrażenie -x2+x-⋅ x−2- (x−2)2 x jest równe
A) x2+1 x−2 B) x+1- 2 C) --x2-- (x− 2)2 D) x+1- x−2

Zadanie 8
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność x (2x − 1) < 2x .

Zadanie 9
(3 pkt)

Rozwiąż równanie  3 2 x + 4x − 9x − 36 = 0 .

Zadanie 10
(1 pkt)

Równanie (x2−-3x)(x+2)- x2−4 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie. B) dwa rozwiązania.
C) trzy rozwiązania. D) cztery rozwiązania.

Zadanie 11
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) wykresy funkcji liniowych f(x) = (2m + 3)x + 5 oraz g (x ) = −x nie mają punktów wspólnych dla
A) m = − 2 B) m = −1 C) m = 1 D) m = 2

Zadanie 12
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu y = ax + b przechodzi przez punkty A = (− 3,− 1) oraz B = (4,3) . Współczynnik a w równaniu tej prostej jest równy
A) (− 4) B) ( 1) − 2 C) 2 D) 4 7

Informacja do zadań 13.1 – 13.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE

Zadanie 13.1
(1 pkt)

Dziedziną funkcji f jest zbiór
A) [− 3,− 1]∪ [1,3] B) (− 3,3) C) (− 3,− 1)∪ (1,3)

D) [− 5,− 1]∪ [1,5] E) (− 5,5) F) (− 5,− 1)∪ (1,5)

Zadanie 13.2
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór
A) [− 3,− 1]∪ [1,3] B) (− 3,3) C) (− 3,− 1)∪ (1,3)

D) [− 5,− 1]∪ [1,5] E) (− 5,5) F) (− 5,− 1)∪ (1,5)

Zadanie 13.3
(1 pkt)

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności f(x ) < − 1 .

Zadanie 14
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = ax 2 + bx + 1 , gdzie a oraz b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że a < 0 i b > 0 . Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) . Fragment wykresu funkcji f przedstawiono na rysunku


ZINFO-FIGURE


Informacja do zadań 15.1 i 15.2

Masa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

m (t) = m 0 ⋅(0,6 )0,25t,

gdzie:

  • m 0 – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t = 0 dawki leku,

  • t – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu t = 0 zażycia leku.

Zadanie 15.1
(1 pkt)

Chory przyjął jednorazowo lek L w dawce 200 mg. Oblicz, ile mg leku L pozostanie w organizmie chorego po 12 godzinach od momentu przyjęcia dawki.

Zadanie 15.2
(1 pkt)

Liczby m (2,5) , m (4,5) , m (6,5) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

Zadanie 16
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem a = n−2- n 3 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa
A) 28 B) 31 C) 32 D) 27

Zadanie 17
(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (1,4,a + 5) jest arytmetyczny. Liczba a jest równa
A) 0 B) 7 C) 2 D) 11

Zadanie 18
(1 pkt)

Ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . W tym ciągu a = 3,75 1 oraz a2 = − 7 ,5 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an ) jest równa
A) 11,25 B) (− 18,75 ) C) 15 D) (− 15)

Zadanie 19
(1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie cosα − co sα ⋅sin2α jest równe
A) cos3α B) sin2 α C)  2 1 − sin α D) cosα

Zadanie 20
(2 pkt)

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary  ∘ 30 ,  ∘ 45 oraz  ∘ 105 . Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – a , b oraz c (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F. Pole tego trójkąta poprawnie określa wyrażenie
A) √-2 2 ⋅ a⋅c B) 1 4 ⋅a ⋅c C) √ - --2⋅ a⋅c 4

D) √-3 4 ⋅ b⋅c E) 1 2 ⋅b ⋅c F) 14 ⋅b⋅c

Zadanie 21
(1 pkt)

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku S . Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A . Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i C . Proste k i l przecinają się w punkcie D , przy czym |BC | = 4 i |CD | = 3 (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Odległość punktu A od prostej l jest równa
A) 7 2 B) 5 C) √ --- 12 D) √ -- 3 + 2

Zadanie 22
(1 pkt)

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt ABE jest podobny do trójkąta CDE . PF
Pole trójkąta ACD jest równe polu trójkąta BCD .PF

Zadanie 23
(1 pkt)

Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC , takie, że  ∘ |∡ADB | = 20 i |∡DBC | = 40∘ (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K .


ZINFO-FIGURE


Miara kąta DKC jest równa
A) 80∘ B) 6 0∘ C) 50∘ D) 40∘

Zadanie 24
(1 pkt)

Pole trójkąta równobocznego T1 jest równe  √- (1,5)2⋅-3- 4 . Pole trójkąta równobocznego T2 jest równe  2√ - (4,5)-⋅-3 4 .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.

Trójkąt T2 jest podobny do trójkąta T1 w skali

A) 3,B) 9,

ponieważ

1) każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.
2) pole trójkąta T 2 jest 9 razy większe od pola trójkąta T 1 .
3) bok trójkąta T 2 jest o 3 dłuższy od boku trójkąta T 1 .

Zadanie 25
(1 pkt)

Pole równoległoboku ABCD jest równe  -- 40√ 6 . Bok AD tego równoległoboku ma długość 10, a kąt ABC równoległoboku ma miarę  ∘ 13 5 (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Długość boku AB jest równa
A)  √ -- 8 3 B)  √ -- 8 2 C) 16 √ 2- D) 16√ 3-

Zadanie 26
(1 pkt)

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = −x + 1 . Funkcja g jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji g przechodzi przez punkt P = (0,− 1) i jest prostopadły do wykresu funkcji f . Wzorem funkcji g jest
A) g(x ) = x+ 1 B) g(x) = −x − 1 C) g(x ) = −x + 1 D) g (x) = x − 1

Zadanie 27
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (− 1,5) oraz C = (3,− 3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Pole kwadratu ABCD jest równe
A)  √ --- 8 10 B)  √ -- 16 5 C) 40 D) 80

Zadanie 28
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A = (1,7) oraz P = (3 ,1) . Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AP | : |PB | = 1 : 3 . Punkt B ma współrzędne
A) (9,− 5) B) (9,− 17) C) (7,− 11) D) (5,− 5)

Informacja do zadań 29.1 i 29.2

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 29.1
(1 pkt)

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 29.2
(1 pkt)

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy
A) √ -- 2 B) √- -6- 3 C) √- -2- 2 D) √ - -33

Zadanie 30
(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ABCDEFA B C D E F , w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna AD ′ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 ∘ (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
A) 12,5 B) 25 C) 50 D) 100

Zadanie 31
(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest
A) 8 B) 4 C) 5 D) 6

Zadanie 32
(2 pkt)

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od 1 do 8 – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A .

Zadanie 33
(4 pkt)

Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB | = 400 m oraz |CD | = 1 00 m . Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
spinner