/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 16 marca 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(3 pkt)

Jacek ustawia książek na półce. Wśród tych książek są dokładnie 3 książki historyczne. Liczba wszystkich możliwych ustawień tych książek jest 117 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień, w których książki historyczne stoją obok siebie (w dowolnej kolejności). Oblicz .

Informacja do zadań 2.1 i 2.2

Dany jest wielomian 8 5 W (x) = 5x + 8x określony dla dowolnej liczby rzeczywistej .

Zadanie 2.1

(2 pkt)

Wykaż, równanie W (x)+ 4 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 2.2

(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

( ) W --|x|-- = m 1 + |x|

ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Zadanie 3

(3 pkt)

Wykaż, że

1−--cos-3π5-- -1--- sin 3π- = tg π-. 5 5

Zadanie 4

(3 pkt)

Funkcja jest określona wzorem 3x2−13x−27 f(x ) = x3+ 4x dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 . Prosta y = − 1 jest styczna do wykresu funkcji w punkcie . Wyznacz współrzędne punktu .

Zadanie 5

(3 pkt)

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków i w punktach i odpowiednio. Na bokach i tego trójkąta wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AP | = |AC | , 8 ⋅|BC | = 17⋅|P B| i 3⋅ |BK | = 25 ⋅|LQ | , to trójkąt BP Q jest rozwartokątny.

Zadanie 6

(4 pkt)

Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trójkąta jest równy 33, a cosinus największego kąta jest równy 1 6 . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 7

(3 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 3. Punkt jest punktem przecięcia przekątnych i ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz wysokość trójkąta BSG poprowadzoną z punktu na bok tego trójkąta.

Zadanie 8

(4 pkt)

Ośmiokrotnie rzucamy sześcienną kostką do gry. Wśród otrzymanych wyników jest dokładnie 5 piątek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ostatnim rzucie otrzymaliśmy piątkę?

Zadanie 9

(5 pkt)

Ciąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(4a,3b,c + 12)

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek c− b = 36 . Oblicz a,b oraz .

Zadanie 10

(5 pkt)

W układzie współrzędnych dane są punkty A = (−3 ,−3 ) , B = (9,1) i C = (8 ,−6 ) . Wyznacz wszystkie punkty prostej , które są różne od punktów i , i dla których suma pól trójkątów ADC i BDC jest mniejsza od 120.

Zadanie 11

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

(m + 2)x2 − (m − 2)x − 4 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x 2 , spełniające warunek:

1 1 1 1 --+ ---+ 2 ≥ -2-+ -2- x1 x2 x1 x2

Zadanie 12

(6 pkt)

Boki i prostokąta ABCD mają długości 2 m i odpowiednio, gdzie jest ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą. Na bokach i wybrano odpowiednio punkty i w ten sposób, że |AE | = |DF |2 . Oblicz dla jakiej długości odcinka pole trójkąta ECF jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.