/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 23 marca 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(2 pkt)

Rozwiąż nierówność ||x + 2||+ ||3 x+ 1|| ≤ 10 3 2 .

Zadanie 2

(2 pkt)

Oblicz granicę funkcji √ ----√ ---- 3-x+1−-31−x- lixm→0 x .

Zadanie 3

(3 pkt)

Pięciokąt ABCDE jest wpisany w okrąg. Przekątne i tego pięciokąta przecinają przekątną w punktach i odpowiednio (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Udowodnij, że jeżeli punkty K, L, D i leżą na jednym okręgu, to |AB | = |BC | .

Zadanie 4

(3 pkt)

Liczby rzeczywiste oraz spełniają jednocześnie równanie x + y = 3 i nierówność

x3 + 4y3 ≤ 3x 2y .

Wykaż, że x = 2 oraz y = 1 .

Zadanie 5

(3 pkt)

Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0,4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w okresie dziesięciu dni wystąpi 6, 7 lub 8 awarii tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych.

Zadanie 6

(4 pkt)

W trójkącie A 0A 1B kąt A 0A 1B jest prosty, |A 0A 1| = 12 i √ -- |A1B | = 5 6 . Odcinek A1A 2 jest wysokością tego trójkąta, odcinek A A 2 3 jest wysokością trójkąta A A B 1 2 , odcinek A 3A4 jest wysokością trójkąta A2A 3B itd. Ogólnie, dla każdej liczby naturalnej i ≥ 1 , odcinek AiAi +1 jest wysokością trójkąta Ai−1AiB

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość nieskończonej łamanej A 1A 2A 3A4 ... .

Zadanie 7

(3 pkt)

Wyznacz wszystkie styczne do wykresu funkcji 8x+1- f (x) = x−3 , które razem z osiami układu współrzędnych ograniczają trójkąt równoramienny.

Zadanie 8

(4 pkt)

Czworokąt ABCD , w którym |AD | = 18 i |CD | = 26 , jest opisany na okręgu. Kąt ABC tego czworokąta jest rozwarty, a promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy 12,5. Obwód czworokąta ABCD jest równy 66. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.

Zadanie 9

(5 pkt)

Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania

3 2 sin x + cos xco s2x = sin x,

które należą do przedziału [− 8π ,24π] .

Zadanie 10

(5 pkt)

W okrąg o równaniu (x − 5)2 + (y + 3)2 = 5 0 wpisano trójkąt ostrokątny ABC . Bok tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu x − 3y − 4 = 0 . Wysokość tego trójkąta dzieli bok tak, że |AD | = 3⋅|DB | . Oblicz pole trójkąta ABC .

Zadanie 11

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości m ∈ R , dla których równanie x2 − mx + 4m − 12 = 0 ma dwa różne pierwiastki spełniające nierówność

4 4 3 x1 + x2 ≥ 452 − 1 6m − 19 2m .

Zadanie 12

(5 pkt)

Funkcja jest określona wzorem

√ -- √ --- f(x) = 4log√2x + 4-⋅log3---8⋅log-0,5--27-⋅x 2 − 9 0x 3

dla każdej liczby dodatniej .

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej wzór funkcji można równoważnie przekształcić do postaci .
Oblicz najmniejszą wartość funkcji określonej dla każdej liczby dodatniej .

Zadanie 13

(6 pkt)

Punkty i są środkami odpowiednio krawędzi i prostopadłościanu ABCDEF GH . Przez krawędź poprowadzono płaszczyznę, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy po kątem 75∘ i płaszczyzna ta przecięła odcinek w punkcie (zobacz rysunek).