/Szkoła średnia

Zadanie nr 9057858

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) dane są punkty A = (1 ,7 ) oraz P = (3,1) . Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AP | : |P B| = 1 : 3 . Punkt B ma współrzędne
A) (9,− 5) B) (9,− 17) C) (7,− 11) D) (5,− 5)

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Z rysunku widać, że jeżeli S jest środkiem odcinka AB , to P jest środkiem odcinka AS . Mamy zatem

A-+-S- P = 2 ⇒ 2P = A + S ⇒ S = 2P − A = (6,2) − (1,7) = (5,− 5) A + B S = ------- ⇒ 2S = A + B ⇒ B = 2S − A = (10,− 10 )− (1,7 ) = (9,− 17). 2

Sposób II

Tym razem użyjemy rachunku wektorowego. Jeżeli B = (x,y ) , to

−A→P = 1−P→B / ⋅3 3 3[3− 1,1− 7] = [x − 3,y− 1].

Mamy stąd

{ x− 3 = 6 ⇒ x = 9 y− 1 = − 18 ⇒ y = − 17.

Zatem B = (9 ,− 1 7) .  
Odpowiedź: B

Wersja PDF