/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki
Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 29 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 312+ 12+12 jest równa
A) √ -- √ -- √ -- 3 + 3 + 3 B) √ -- √ -- 3 ⋅ 3 C)  √ -- 3 + 3 D) √ -- 39

Zadanie 2
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 2 lo g40,2 5+ 2 − 12 log4 256 jest równa
A) 0 B) − 2 C) 2 D) 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Kwotę 10 000 zł ulokowano w banku na dwuletnią lokatę oprocentowaną w wysokości 5% w stosunku rocznym. Co pół roku środki zgromadzone na lokacie są powiększane o odsetki, od których odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie dwóch lat będzie można wypłacić z banku, jest równa
A)  2 100 00⋅(1 ,0 405) B)  4 1000 0⋅(1,0 5) ⋅0,8 1
C) 1000 0⋅(1,01 62)2 D) 10 000⋅ (1,02025)4

Zadanie 4
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej t wartość wyrażenia (2 − 3t)(4+ 9t2)(3t+ 2 ) jest równa
A)  2 16 − 9t B)  4 4− 9t C)  2 12 − 27t D)  4 16− 81t

Informacja do zadań 5.1 i 5.2

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , przedstawiono wykres funkcji f określonej dla każdego x ∈ (− 6,5] . Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.


PIC

Zadanie 5.1
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja f jest malejąca na przedziale [− 2,2] . PF
Dla każdego argumentu z przedziału [− 4,− 2] funkcja f przyjmuje wartości niedodatnie. PF

Zadanie 5.2
(1 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji f .

Zadanie 6
(1 pkt)

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują cztery różne cyfry parzyste jest
A) 120 B) 96 C) 625 D) 500

Zadanie 7
(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczba n nie dzieli się przez 3, to liczba  2 n + 2024 jest podzielna przez 3.

Informacja do zadań 8.1 i 8.2

W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są punkty: A = (2,− 5) , B = (10 ,3) i C = (− 2,7 ) .

Zadanie 8.1
(1 pkt)


Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.

Punkty A , B i C

A) są współliniowe,
B) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego,
C) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego,

ponieważ

1) |BC |2 = |AB |2 + |AC |2 ,2) |AC | = |BC | ,3) |AC | = |AB |+ |BC | ,

Zadanie 8.2
(1 pkt)

Środek odcinka łączącego punkt A ze środkiem odcinka BC ma współrzędne
A) (4,5) B) (3,0 ) C) (4,1) D) ( 7 ) 2,1

Zadanie 9
(1 pkt)

Dana jest funkcja liniowa f określona wzorem f(x) = ax + b , gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji f przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) na rysunku poniżej


PIC


Współczynniki a i b we wzorze funkcji f spełniają warunki
A) a > 0 i b > 0 B) a > 0 i b < 0 C) a < 0 i b > 0 D) a < 0 i b < 0

Zadanie 10
(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby b wyrażenie ( 6√ -- 3√ -)− 2 b : b jest równe
A)  2 b B)  0,25 b C)  1 b3 D)  4 b3

Zadanie 11
(1 pkt)

Wartość wyrażenia (2 − sin 15∘)⋅(2 + sin 15∘)− cos215 ∘ jest równa
A) (− 1) B) 3 C) 15 D) 0

Zadanie 12
(1 pkt)

Dany jest układ równań

{ 3x + y = a x − 3y = b,

gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na którym z rysunków może być przedstawiona interpretacja geometryczna tego układu równań?


PIC


Zadanie 13
(2 pkt)

Rozwiąż równanie  3 2 6x + 8x + 9x+ 12 = 0 .

Zadanie 14
(1 pkt)

Dwa krótsze boki trójkąta rozwartokątnego ABC mają długości |AB | = 6 i |BC | = 5 . Sinus największego kąta tego trójkąta jest równy 3 5 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta ABC jest mniejsze od 10. PF
Cosinus kąta ABC trójkąta ABC jest równy 4 5 .PF

Zadanie 15
(1 pkt)

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania  2 3 (x+ 3)(x − 4) = 0 jest równy
A) − 12 B) − 36 C) 36 D) 12

Zadanie 16
(2 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . W tym ciągu a = 8 1 , a = − 7 2 , a = − 22 3 .
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Wzór ogólny ciągu (an) ma postać
A) an = 8 − 1 2(n− 1) B) an = 2 3− 15n
C) an = 8 − 15 (n− 1) D) an = 7− 15n

E) an = − 7 + 15n F) an = 23 − 15(n − 1 )

Zadanie 17
(1 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem a = n − 2n 2 n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg (an) jest malejący. PF
Siódmy wyraz ciągu (an) jest równy − 90 .PF

Zadanie 18
(1 pkt)

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą DE równoległą do podstawy AB (zobacz rysunek).


PIC


Stosunek pola trójkąta CDE do pola trapezu DABE jest równy
A) 5 : 9 B) 4 : 5 C) 4 : 9 D) 3 : 2

Zadanie 19
(4 pkt)

Tekturowy karton ma mieć kształt prostopadłościanu, którego podstawa jest prostokątem o jednym z boków dłuższym od drugiego o 24 cm. Suma wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu ma być równa 480 cm.

  • Napisz wzór funkcji P wyrażającej całkowite pole zewnętrznej powierzchni kartonu, w zależności od długości x krótszej krawędzi jego podstawy. Podaj dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz jakie powinny być wymiary tego kartonu tak, aby łączne pole powierzchni jego ścian było największe możliwe.

Informacja do zadań 20.1 – 20.3

Dana jest funkcja kwadratowa f , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wykresem funkcji f jest parabola, której punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.


PIC

Zadanie 20.1
(1 pkt)

Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g (x) = 1 − f(x ) . Wykres funkcji g przedstawiono na rysunku


PIC


Zadanie 20.2
(1 pkt)

Rozwiąż nierówność f (x) ≤ 3 .

Zadanie 20.3
(3 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji f .

Zadanie 21
(1 pkt)

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku w punkcie O i promieniu r = 4 (zobacz rysunek). Cięciwa AC ma długość  √ --- 2 11 .


PIC


Sinus kąta BAC jest równy
A) √ - --5 4 B) √ -- --11 4 C) √ -- --10 8 D) √ - -23

Zadanie 22
(1 pkt)

Ze zbioru ośmioelementowego M = { 1,2,3,4,5,6,7,8 } losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru M , których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A .

Zadanie 23
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) , dane są proste k oraz l o równaniach

 1 k : y = --x− 1 3 l : y = 3x − 1.

Proste k oraz l
A) nie mają punktów wspólnych. B) są prostopadłe.
C) przecinają się w punkcie P = (0,− 1) . D) pokrywają się.

Zadanie 24
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (an) są równe 12 . Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 15 8 B) 31- 16 C) -1 32 D) 78

Zadanie 25
(1 pkt)

Jedną z liczb spełniających nierówność x4 − 2x3 − 2 < 0 jest
A) 3 B) (− 1) C) 2 D) (− 2)

Zadanie 26
(1 pkt)

Cięciwy AC i BD okręgu o środku O przecinają się w punkcie S . Ponadto |AS | = 9 , |DS | = 6 i |CS | = 14 (zobacz rysunek).


PIC


Długość odcinka BS jest równa
A) 24 B) 20 C) 21 D) 18

Zadanie 27
(1 pkt)

Jeżeli b > a > 0 to wyrażenie |5b − 2a| − |a− 3b| jest równe
A) 8b − 3a B) 3a − 8b C) 2b − a D) a − 2b

Zadanie 28
(1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku C . Środkowa CD tworzy z przyprostokątną AC kąt  ∘ 3 0 . Wynika stąd, że kąt między tą środkową a wysokością CE trójkąta ma miarę
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 45∘ D) 20∘

Zadanie 29
(2 pkt)

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus najmniejszego kąta tego trójkąta.

Zadanie 30
(1 pkt)

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości 32√ 3- rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt ABCD , w którym bok BC odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa), a przekątna AC tworzy z bokiem BC kąt o mierze 30 ∘ (zobacz rysunek).


PIC


Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa.
A) 4 B)  √ -- 4 3 C)  √ -- 2 3 D) 2

Informacja do zadań 31.1 i 31.2

W układzie współrzędnych dany jest okrąg o opisany równaniem (x + 3 )2 + (y − 5)2 = 12 .

Zadanie 31.1
(1 pkt)

Pole trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg jest równe
A)  √ - 3--3 4 B) 6 C)  -- 3√ 3 D)  √ -- 9 3

Zadanie 31.2
(2 pkt)

Sprawdź, czy prosta o równaniu y = 2x + 3 jest styczna do okręgu o .

Arkusz Wersja PDF
spinner