/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki
Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 15 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorem

 (5p + 3)n3 + 7pn − 4 an = ----------3----2-----, (p − 2)n − n + p

gdzie p jest liczbą rzeczywistą. Oblicz wartość p , dla której granica ciągu (an) jest równa 3 4 .

Zadanie 2
(2 pkt)

W firmie zatrudniającej 390 pracowników sporządzono zestawienie wszystkich pracowników w wieku przedemerytalnym i okazało się, że wśród nich jest 96 mężczyzn i 45 kobiet. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany mężczyzna pracujący w tej firmie jest w wieku przedemerytalnym jest równe 0,4. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem, że jest to kobieta.

Zadanie 3
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem  ∘3 -√--- f(x ) = 2x − 3 x x dla każdej liczby rzeczywistej x > 0 . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie x 0 = 4 .

Zadanie 4
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x oraz dla każdej liczby rzeczywistej y , spełniających warunek x + y ≥ − 2 , prawdziwa jest nierówność

 2 2 x (x+ 2)+ y (y + 2) ≥ xy (x+ y+ 4).

Zadanie 5
(3 pkt)

Iloczyn wszystkich wyrazów ciągu danego wzorem

 (log x)n an = 3 8 , gdzie n ≥ 1,

jest równy  log 27 4 8 . Oblicz x .

Zadanie 6
(4 pkt)

W trójkącie ABC na boku AB wybrano takie punkty  ′ A i  ′ B , że

 1 |AA ′| = |BB ′| < --|AB |. 2

Przez punkty  ′ A i  ′ B poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio AC i BC . Proste te przecięły się w punkcie S . Wykaż, że odcinek CS jest zawarty w środkowej trójkąta ABC .

Zadanie 7
(4 pkt)

Rozwiąż równanie  2 ( 3π) 2 2 cos2x + 7cos x− 2 = 2+ sin 2x w przedziale [0 ,2π] .

Informacja do zadań 8.1 i 8.2

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).


PIC

Funkcje f oraz g są określone wzorami  1( 3)2 f(x) = 2 x − 2 − 3 oraz  2 g (x ) = 14 (x− 1) + 1 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją g w punkcie o współrzędnych P = (3 ,2 ) .

Zadanie 8.1
(2 pkt)

Niech R będzie punktem leżącym na wykresie f . Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem

 ∘ -------------------------------- |PR | = 1x 4 − 3x3 − 5-x2 + 45x + 1537-, 4 2 8 8 64

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Zadanie 8.2
(6 pkt)

Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją f . Oblicz współrzędne punktu K , w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca K pomostu od początku P ) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu R leżącego na wykresie funkcji f od punktu P wyraża się wzorem

 ∘ -------------------------------- 1- 4 3-3 5- 2 45- 1537- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x + 64 ,

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Zadanie 9
(6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o podstawie ABC i polu powierzchni bocznej równym P . Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka S ma miarę 2 α . Objętość tego ostrosłupa jest równa ∘ ----------(-----------)- k⋅P 3sin α 3 − 4 sin 2α , gdzie k jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik k .

Zadanie 10
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność

 1 1 2 --2----− ------≥ -----+ 4x. x − 4 2− x 2+ x

Zadanie 11
(5 pkt)

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y = −x + 3b , y = −x − 2b , y = b , y = 4 , gdzie liczba rzeczywista b spełnia warunki: b ⁄= 4 i b ⁄= 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru b , dla których pole tego równoległoboku jest równe 20.

Zadanie 12
(5 pkt)

W okrąg o średnicy 16,25 wpisano trójkąt ostrokątny ABC , w którym |BC | = 15 . Miary kątów BAC i ABC tego trójkąta spełniają warunek

sin|∡BAC---|= 15-. sin|∡ABC | 13

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC .

Arkusz Wersja PDF
spinner