/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Położenie względem osi

Zadanie nr 6799283

Na końcowym ramieniu kąta α (rysunek) leży punkt P = (− 3;4) .

ZINFO-FIGURE

Wówczas
A) sin α = − 35 B) cos α = − 43 C) co sα = − 3 5 D) tg α = 4 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy rzuty punktu P na osie okładu współrzędnych.

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego.

x −3 3 co sα = -P--= ∘-------------= − -- OP (− 3)2 + 42 5 yP 4 4 sin α = ----= ∘------2----2-= − -- OP (− 3) + 4 5 sin-α- yP- 4- tg α = cosα = x = − 3. P

Sposób II

Zauważmy, że

cos(180∘ − α ) = OA--= 3-. OP 5

Stąd

co sα = − cos(180∘ − α) = − 3. 4

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt POB .

sin β = BP--= 3. OP 5

Stąd

cos α = cos(90∘ + β ) = − sinβ = − 3. 5

Sposób IV

Napiszmy równanie prostej OP . Jest to prosta postaci y = ax . Współczynnik a obliczamy podstawiając współrzędne punktu P .

4- 4 = − 3a ⇒ a = − 3.

Otrzymany współczynnik kierunkowy to dokładnie tg α , więc

sinα-= − 4- /()2 cosα 3 sin2α 16 ---2--= --- cos α 9 9(1− cos2α) = 16cos2 α 5 25cos2 α = 9 ⇒ cosα = ± -- 3

Ponieważ α jest kątem rozwartym, mamy stąd 3 co sα = − 5 .  
Odpowiedź: C

Wersja PDF