/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Odcinek

Zadanie nr 9815921

W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (− 8,b) . Punkt C = (1,2) jest takim punktem odcinka AB , że |AC | = 14|AB | . Wynika stąd, że
A) a = 1 0 i b = − 2 B) a = 4 i b = − 10 C) a = 2 i b = − 4 D) a = − 6 i b = 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Jeżeli ( ) S = a−8, 6+b 2 2 jest środkiem odcinka AB , to C jest środkiem odcinka AS . Ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy układ równań

( a−8 { 1 = -2-+a- / ⋅4 6+2b+6 ( 2 = -22--- / ⋅4 { 4 = a − 8 + 2a ⇒ a = 4 8 = 6 + b + 12 ⇒ b = − 10.

Sposób II

Tym razem użyjemy rachunku wektorowego.

−→ 1−→ AC = -AB 4 [1− a,2− 6] = 1[− 8− a,b− 6] / ⋅4 4 [4− 4a,− 16] = [−8 − a ,b − 6 ].

Mamy stąd

{ 4− 4a = − 8 − a ⇒ a = 4 − 16 = b − 6 ⇒ b = −1 0.

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF