/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Kwadrat/Pole

Zadanie nr 2414065

Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 4.

ZINFO-FIGURE

Punkty E i F są środkami boków BC i AB , a punkt G jest punktem wspólnym odcinków CF i DE . Oblicz pole czworokąta AF GD

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że trójkąty prostokątne CDE i BCF są przystające, więc możemy oznaczyć ∡CDE = ∡BCF = α .

ZINFO-FIGURE

W trójkącie prostokątnym CDE mamy ponadto

∡DEC = 90∘ − ∡CDE = 90∘ − α.

To oznacza, że trójkąt CGE jest prostokątny, czyli odcinki CF i DE są prostopadłe.

Zauważmy jeszcze, że

∘ ---2------2- √ -- CF = DE = CD + C√E-- = 5 CE 1 5 sinα = ----= √---= ---- DE 5 5√ -- CD 2 2 5 cos α = ---- = √---= -----. DE 5 5

To pozwala nam obliczyć długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym CGE .

√ -- GE-- --5- CE = sinα ⇒ GE = 5 √ -- GC--= cos α ⇒ GC = 2--5. CE 5

Sposób I

Pole czworokąta AF GD możemy obliczyć jako sumę pól trójkątów AF D i F GD .

P = P + P = 1-⋅AF ⋅AD + 1F G ⋅DG = AFGD AFD FGD 2 2 ( √ -- √ --) ( √ -- √ -) = 1-⋅1 ⋅2+ 1-⋅ 5− 2--5- 5− --5- = 2 2 5 5 √ -- √ -- = 1+ 1-⋅ 3-5-⋅ 4--5-= 1 + 6-= 11-. 2 5 5 5 5

Sposób II

Tym razem obliczymy pole czworokąta AF GD odejmując od pola kwadratu ABCD pola trójkątów FBC i DGC .

1 1 PAFGD = PABCD − PFBC − PDGC = 22 − --⋅1 ⋅2 − --⋅DG ⋅GC = ( √ -) √ --2 √ 2- √ -- 1 √ -- 5 2 5 4 5 5 4 11 = 4− 1− -- 5− ---- ⋅ -----= 3− -----⋅----= 3− --= --. 2 5 5 5 5 5 5

 
Odpowiedź: 11 5

Wersja PDF