Zadanie nr 9907840

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym a1 > 0 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność 27S ≤ 2 56a4 . Wyznacz iloraz tego ciągu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez iloraz ciągu (an) . Jeżeli istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu (an) , to |q| < 1 . Wiemy ponadto, że

27a1-= 27S ≤ 256a4 = 2 56a1q3 / : 27a1 1− q 1 256 3 ------≤ ----q / ⋅(1 − q) 1 − q 27 256- 3 256- 4 1 ≤ 27 q − 27 q 256 4 256 3 ----q − ----q + 1 ≤ 0. 27 27

Niespecjalnie widać jak dalej przekształcić tę nierówność, więc zamiast tego potraktujemy jej lewą stronę jak funkcję zmiennej .

2 56 256 f(q) = ----q4 − ----q3 + 1. 27 27

Liczymy pochodną tej funkcji

( ) ′ 1024 3 256 2 102 4 2 3 f (q) = -27--q − -9--q = -27--q q − 4- .

Widać teraz, że funkcja jest malejąca na lewo od 3 q = 4 i rosnąca na prawo od od tego punktu. W takim razie najmniejszą wartość funkcji otrzymamy dla q = 34 i jest ona równa