Zadanie nr 4339018
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny , określony dla każdej liczby naturalnej . Czwarty wyraz tego ciągu jest o większy od drugiego wyrazu i jest mniejszy niż trzeci wyraz. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa . Wyznacz wszystkie wartości , dla których spełniona jest nierówność
gdzie oznacza sumę początkowych wyrazów ciągu , a jest sumą wszystkich wszystkich wyrazów ciągu .
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy przez iloraz ciągu , to wiemy, że
Ciąg składający się z wyrazów ciągu o numerach parzystych jest też ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie i ilorazie . W szczególności i suma tego szeregu jest równa
Podstawiamy to wyrażenie do poprzedniego równania i mamy
Ponieważ , mamy stąd
To oczywiście oznacza, że . Zauważmy jednak, że jeżeli , to z równości
wynika, że i wtedy
co jest sprzeczne z podaną informacją o tym, że . Zatem i
Stąd
Pozostało więc rozwiązać nierówność
Ponieważ
nierówność tą spełniają wszystkie liczby naturalne .
Odpowiedź: