Zadanie nr 9907840
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla , w którym . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność . Wyznacz iloraz tego ciągu.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez iloraz ciągu . Jeżeli istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu , to . Wiemy ponadto, że
Niespecjalnie widać jak dalej przekształcić tę nierówność, więc zamiast tego potraktujemy jej lewą stronę jak funkcję zmiennej .
Liczymy pochodną tej funkcji
Widać teraz, że funkcja jest malejąca na lewo od i rosnąca na prawo od od tego punktu. W takim razie najmniejszą wartość funkcji otrzymamy dla i jest ona równa
To oznacza, że jedynym rozwiązaniem nierówności (a też równania ) jest .
Odpowiedź: