/Szkoła średnia/Kombinatoryka

Zadanie nr 8925642

Wśród n osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności). Oblicz n .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Liczba ustawień n osób w kolejkę jedna za drugą jest równa n! . Obliczmy ile jest ustawień, w których Ania i jej znajomi znajdują się obok siebie. Najpierw w dowolny sposób ustawiamy pozostałe (n − 3) osoby, potem na (n − 2) sposoby możemy wśród nich umieścić grupę Ani i jej znajomych. Na koniec Anię ze znajomymi możemy ustawić na 3! sposobów. W sumie jest więc

(n− 3)!⋅(n − 2 )⋅3! = 6(n − 2 )!

takich ustawień. Pozostało teraz rozwiązać równanie

---n-!---- n-(n-−-1)(n-−-2)! n(n-−-1)- 12 = 6(n − 2)! = 6(n − 2 )! = 6 / ⋅6 2 0 = n − n− 72 2 Δ = 1+ 2 88 = 289 = 17 1−--17- 1-+-17- n = 2 < 0 lub n = 2 = 9.

 
Odpowiedź: n = 9

Wersja PDF