/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo

Zadanie nr 1276124

Wśród kilkuset studentów, którzy przystąpili do egzaminu z matematyki dokładnie jedna trzecia nie znała odpowiedzi na pierwsze pytanie. Egzaminator 10 razy wybrał z tej grupy studentów osobę i sprawdził czy zna odpowiedź na pierwsze pytanie (jedna osoba mogła zostać wybrana kilkukrotnie). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród tych wybranych 10 osób więcej niż połowa zna odpowiedź na pierwsze pytanie.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu (czyli tego, że student zna odpowiedź na pierwsze pytanie) jest równe p = 23 . W języku schematu Bernoulliego musimy więc mieć co najmniej 6 sukcesów. Prawdopodobieństwa otrzymania 6, 7, 8, 9 i 10 sukcesów są kolejno równe

( 10 ) ( 10) ( 2 )6 ( 1) 4 10 ⋅9 ⋅8 ⋅7 64 13440 p 6(1 − p )4 = ⋅ -- ⋅ -- = ----------- ⋅--- = ------ 6 4 3 3 4! 310 310 ( 10 ) ( 10) ( 2 )7 ( 1) 3 10 ⋅9 ⋅8 128 15 360 p 7(1 − p )3 = ⋅ -- ⋅ -- = -------- ⋅----= ------ 7 3 3 3 3! 3 10 310 ( 10 ) ( 10) ( 2 )8 ( 1) 2 10 ⋅9 2 56 1 1520 p 8(1 − p )2 = ⋅ -- ⋅ -- = ------⋅--10 = ---10- 8 2 3 3 2! 3 3 ( 10) ( 10) ( 2 )9 ( 1) 51 2 51 20 p 9(1 − p ) = ⋅ -- ⋅ -- = 10 ⋅--10 = --10- 9 1 3 3 3 3 ( 10) ( 2) 10 1024 p10 = 1⋅ -- = --10-. 10 3 3

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

13-440 15-360 11-520 512-0 1024- p = 310 + 310 + 310 + 310 + 310 = 46 464 15488 1548 8 = ---10- = ---9--= ------. 3 3 1968 3

 
Odpowiedź: 15488 19683

Wersja PDF