/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 5421127

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równe √ --- 13 . Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a,h,H odpowiednio długości krawędzi podstawy, wysokości ściany bocznej oraz wysokości ostrosłupa.

PIC

Ponieważ środek F trójkąta równobocznego ABC dzieli jego wysokość BE w stosunku 2:1, mamy

√ -- √ -- 1- a--3- a---3 EF = 3 ⋅ 2 = 6 √ -- FB = 2EF = a--3. 3

Z podanego stosunku pola bocznego do pola podstawy mamy

--- 1 √ --- √ 13 = 3⋅√2ah-= -6a√h--= 6h√--- ⇒ h = a--39. a2-3 a2 3 a 3 6 4

Z trójkąta prostokątnego EF D obliczamy teraz wysokość ostrosłupa.

┌│ -----(--√---)-2 ∘ ------------ ∘ ----------- │∘ a 3 3 9a2 3a2 H = ED 2 − EF 2 = h 2 − ----- = -----− ----= a 6 3 6 36

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny DF B .

-H- -a-- -3-- √ -- tg α = F B = a√-3= √ --= 3. 3 3

To oznacza, że interesujący nas kąt ma miarę ∘ α = 60 .  
Odpowiedź: 60∘

Wersja PDF