/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez kolejne wyrazy

Zadanie nr 6005099

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , wyraz szósty jest równy 3, a wyraz dziesiąty jest równy 15. Oblicz dla jakich wartości n suma n początkowych wyrazów ciągu (an ) jest mniejsza od 729.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że

{ 3 = a 6 = a1 + 5r 15 = a10 = a1 + 9r.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

12 = 4r ⇒ r = 3.

Stąd

a = 3 − 5r = 3 − 15 = − 12 1

i

a = a + (n − 1)r = − 12 + 3 (n− 1) = 3n − 15 . n 1

Pozostało teraz rozwiązać nierówność

2a + (n − 1)r − 24+ 3(n− 1) 7 29 > Sn = --1------------⋅n = ----------------⋅n / ⋅2 2 2 14 58 > (− 27 + 3n )⋅n = − 27n + 3n2 2 0 > 3n − 27n − 1458 / : 3 0 > n2 − 9n − 4 86.

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.

2 2 Δ = 9 + 4 ⋅486 = 2 025 = 45 9 − 4 5 9 + 45 n1 = ---2--- = − 18, n2 = ---2---= 27 n ∈ (− 18,27).

Oczywiście interesują nas tylko dodatnie wartości n , więc otrzymujemy stąd n < 27 .  
Odpowiedź: n ∈ N i n < 27

Wersja PDF