/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg

Zadanie nr 4103873

Prosta przechodząca przez punkty A = (− 9,− 4) i B = (− 6,17) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O = (− 1 ,2 ) . Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Naszkicujmy opisaną sytuację.

PIC

Zaczniemy od wyznaczenia równania prostej AB – szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ −4 = − 9a+ b 17 = − 6a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

21 = 3a ⇒ a = 7

Stąd b = − 4 + 9a = 5 9 i prosta AB ma równanie y = 7x + 59 .

Sposób I

Promień interesującego nas okręgu moglibyśmy łatwo wyznaczyć ze wzoru na odległość punktu O od prostej AB , ale ponieważ i tak mamy wyznaczyć współrzędne punktu styczności S okręgu z prostą AB , promień obliczymy jako długość odcinka OS .

Prosta OS jest prostopadła do prostej AB , więc jest to prosta postaci y = − 1x + b 7 . Współczynnik b wyznaczmy podstawiając współrzędne punktu O

1- 1- 13- 2 = 7 + b ⇒ b = 2 − 7 = 7 .

Wyznaczmy teraz punkt wspólny S tej prostej z prostą AB .

{ y = 7x + 59 1 13- y = − 7x + 7

Porównujemy prawe strony tych równości

− 1-x + 13-= 7x + 59 /⋅ 7 7 7 − 40 0 = 50x ⇒ x = − 8.

Stąd y = − 1 x+ 13= 3 7 7 i S = (− 8,3) . Pozostało obliczyć promień okręgu

∘ --------------------- √ --- √ -- r = OS = (− 8 + 1)2 + (3− 2)2 = 50 = 5 2.

Sposób II

Równanie okręgu o środku w punkcie O jest postaci

(x + 1)2 + (y− 2)2 = r2

Sprawdźmy kiedy okrąg tej postaci jest styczny do prostej AB – podstawiamy w tym równaniu y = 7x + 59 .

(x + 1)2 + (7x + 57)2 = r2 5 0x2 + 800x + 32 50− r2 = 0.

Równanie to powinno mieć dokładnie jedno rozwiązanie (bo prosta AB i okrąg mają mieć dokładnie jeden punkt wspólny), więc

0 = Δ = 800 2 − 4 ⋅50 ⋅(3250 − r2) / : 200 2 √ --- √ -- 0 = 3 200− 3250 + r ⇐ ⇒ r = 5 0 = 5 2.

Dla tej wartości r , otrzymane wyżej równanie kwadratowe przyjmuje postać

50x2 + 800x + 3 250− 50 = 0 / : 50 2 2 0 = x + 16x + 64 = (x+ 8) .

Zatem x = − 8 , y = − 7x + 59 = 3 i szukany punkt styczności to S = (− 8 ,3 ) .  
Odpowiedź: -- r = 5√ 2 , S = (− 8 ,3 )

Wersja PDF