Zadanie nr 9553446

Okrąg o środku w punkcie S 1 jest określony równaniem (x − 6)2 + (y + 1)2 = 1 6 . Okrąg ma środek w punkcie S 2 takim, że −→ S 1S2 = [− 4,4] . Promienie tych okręgów są sobie równe. Figura składa się z dwóch okręgów: oraz . Punkty i są punktami przecięcia ﬁgury z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym. Wyznacz punkt , leżący na jednej z osi symetrii ﬁgury , taki, że pole trójkąta MNK jest równe 40.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Okrąg 2 2 (x − 6) + (y + 1) = 16 ma środek w punkcie S1 = (6,− 1) i promień r = 4 . Wiemy ponadto, że

−→ [− 4,4] = S1S2 = S 2 − S 1 S 2 = S1 + [− 4 ,4 ] = (6,− 1)+ [− 4,4] = (2,3).

Możemy teraz naszkicować opisaną sytuację.

ZINFO-FIGURE

Figura ma oczywiście dwie osie symetrii – jedna z nich to prosta S1S 2 , a druga to prostopadła do niej prosta przechodząca przez punkty wspólne dwóch okręgów. Wyznaczmy równania tych osi symetrii. Równania prostej S S 1 2 szukamy w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i S 2 .

{ − 1 = 6a+ b 3 = 2a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

− 4 = 4a ⇒ a = − 1.

Stąd b = 3 − 2a = 3 + 2 = 5 i prosta S1S2 ma równanie y = −x + 5 .

Druga oś symetrii jest prostopadła do S 1S2 , więc ma równanie postaci y = x+ b . Jest ona ponadto symetralną odcinka S1S 2 , więc przechodzi przez jego środek

S = S1-+-S2-= (4,1). 2

To pozwala wyznaczyć .

1 = 4+ b ⇒ b = − 3.

Prosta ma więc równanie y = x − 3 .

Wyznaczmy teraz współrzędne punktów i . Podstawiamy y = x − 3 do równania okręgu o 1 .

2 2 2 2 16 = (x − 6) + (x − 3 + 1) = (x − 6) + (x − 2) 16 = x2 − 12x + 3 6+ x2 − 4x+ 4 / : 2 2 0 = x − 8x + 12 Δ = 64 − 48 = 16 x = 8-−-4-= 2 lub x = 8+-4-= 6. 2 2

Mamy wtedy y = x − 3 = −1 i y = x − 3 = 3 odpowiednio. Zatem M = (2,− 1) i N = (6,3) (lub odwrotnie - ale nie ma to znaczenia z punktu widzenia dalszej części rozwiązania).

Gdyby punkt leżał na prostej , to pole trójkąta MNK byłoby równe 0, więc punkt musi leżeć na prostej S1S2 , czyli ma współrzędne postaci K = (x,−x + 5) . Mamy ponadto