/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg

Zadanie nr 9747989

Prosta przechodząca przez punkty A = (8,− 6) i B = (5 ,15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O = (0,0) . Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Naszkicujmy opisaną sytuację.

PIC

Zaczniemy od wyznaczenia równania prostej AB – szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ − 6 = 8a+ b 1 5 = 5a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

− 21 = 3a ⇒ a = − 7

Stąd b = − 6 − 8a = 50 i prosta AB ma równanie y = − 7x + 5 0 .

Sposób I

Promień interesującego nas okręgu moglibyśmy łatwo wyznaczyć ze wzoru na odległość punktu O od prostej AB , ale ponieważ i tak mamy wyznaczyć współrzędne punktu styczności S okręgu z prostą AB , promień obliczymy jako długość odcinka OS .

Prosta OS jest prostopadła do prostej AB i przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc jest to prosta y = 17x . Wyznaczmy jej punkt wspólny S z prostą AB .

{ y = − 7x + 50 1 y = 7x

Porównujemy prawe strony tych równości

1 --x = − 7x + 5 0 7 50-x = 50 ⇒ x = 7. 7

Stąd y = 17 x = 1 i S = (7,1) . Pozostało obliczyć promień okręgu

∘ ------- √ --- √ -- r = OS = 72 + 11 = 50 = 5 2.

Sposób II

Równanie okręgu o środku w punkcie O jest postaci

x2 + y2 = r2

Sprawdźmy kiedy okrąg tej postaci jest styczny do prostej AB – podstawiamy w tym równaniu y = − 7x + 50 .

x 2 + (− 7x + 50)2 = r2 2 2 5 0x − 700x + 25 00− r = 0.

Równanie to powinno mieć dokładnie jedno rozwiązanie (bo prosta AB i okrąg mają mieć dokładnie jeden punkt wspólny), więc

2 2 0 = Δ = 700 − 4 ⋅50 ⋅(2500 − r ) / : 200 -- 0 = 2 450− 2500 + r2 ⇐ ⇒ r = √ 5-0 = 5√ 2.

Dla tej wartości r , otrzymane wyżej równanie kwadratowe przyjmuje postać

2 50x − 700x + 2 500− 50 = 0 / : 50 0 = x2 − 14x + 49 = (x− 7)2.

Zatem x = 7 , y = − 7x + 50 = 1 i szukany punkt styczności to S = (7,1) .  
Odpowiedź: √ -- r = 5 2 , S = (7,1)

Wersja PDF