/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt

Zadanie nr 3053819

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | oraz B = (0,− 3) i C = (2,3) . Oś symetrii tego trójkąta ma równanie y − x − 1 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołka A .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Oś symetrii trójkąta ABC to po prostu prosta zawierająca wysokość opuszczoną na bok AB . Prosta ta jest więc prostopadła do prostej AB . To oznacza, że prosta AB musi mieć równanie postaci y = −x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

− 3 = b.

Zatem prosta AB ma równanie y = −x − 3 . Punkt A ma więc współrzędne postaci A = (x,−x − 3) . Pozostało teraz skorzystać z warunku AC = BC .

2 2 AC = BC (2 − x )2 + (3 + x + 3 )2 = (2− 0)2 + (3 + 3 )2 2 2 4 − 4x + x + 36+ 12x + x = 4 + 3 6 2x 2 + 8x = 0 2x (x + 4) = 0 x = 0 ∨ x = − 4.

Rozwiązanie x = 0 prowadzi do punktu B , zatem x = − 4 , y = −x − 3 = 1 oraz A = (− 4,1) .  
Odpowiedź: A = (− 4,1)

Wersja PDF